Zeigen Sie, dass HomK (V, W ) ein Unterraum von W^V ist

Question

Aufgabe:

Seien V und W zwei K-Vektorräume. Zeigen Sie, dass Hom_K (V, W ) ein Unterraum von
W^V := {f : V → W | f Abbildung} ist

W^V hat die Abbildungen:

+ : W^V x W^V → W^V
     (f,g) ↦ f + g: V →  W
                           v ↦  f(v) + g(v)

· : K x W^V → W^V
  (a,f) ↦ af: V →  W
                        v ↦  a·f(v)

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass man die Unterraumaxiome zeigen soll, nur fällt mir nicht ein, wie man in dem Fall alle zeigen soll.
Wäre für Hilfe dankbar.

Answer 1

Als Beispiel zeige ich

\(f,g\in \operatorname{Hom}(V,W)\Rightarrow f+g\in \operatorname{Hom}(V,W)\):

ich muss also zeigen, dass wenn \(f\) und \(g\) linear sind, dass dann auch

\(f+g\) linear ist:

Seien \(v_1,v_2\in V\) und \(c\in K\). Dann gilt

\((f+g)(v_1+cv_2)=f(v_1+cv_2)+g(v_1+cv_2)=\)

\(=f(v_1)+cf(v_2)+g(v_1)+cg(v_2)=(f+g)(v_1)+c(f+g)(v_2)\).

Entsprechend geht es mit den skalaren Vielfachen.

Zu zeigen, dass \(\operatorname{Hom}(V,W)\neq \emptyset\) ist, dürfte wohl

auch kein Problem sein.

Comments

Warum hast du ein c ∈ K genommen?

---

Für die anderen beiden Eigenschaften habe ich folgendes hingeschrieben:

f ∈ Hom(V,W) und c ∈ K ⇒ c·f ∈ Hom(V,W)
Sei v ∈ V. Dann gilt:
f(cv) = cf(v)

0 ∈ Hom(V,W)

Sei f ∈ Hom(V,W). Da V ein Vektorraum ist, ist 0 ∈ V. Also folgt:
f(0) = 0, denn sei a=0 ∈ K und v ∈ V. Dann ist:
f(av) = af(v) = 0f(v) = 0