Zeigen Sie, dass φ ∈ HomK(V, W) ist!

Question

Seien n ∈ ℕ und B := {b₁, · · · , b_n} eine K-Basis von V . Wir halten die Reihenfolge b₁, ..., b_n fest. Seien w₁, · · · , w_n ∈ W in dieser Reihenfolge gegeben. Nun definieren wir eine Abbildung φ : V → W wie folgt:

Ist v ∈ V , so seien λ₁, ..., λ_n ∈ K so, dass v = \( \sum\limits_{i=1}^{n}{λ_i · b_i} \)  gilt, und dann sei

v^φ := \( \sum\limits_{i=1}^{n}{λ_i· w_i} \)

Zeigen Sie, dass φ ∈ Hom_K(V, W) ist!

Answer 1

additiv zeigst du z.B. so:

Seien u,v aus V mit

u = \( \sum\limits_{i=1}^{n}{λ_i· b_i} \) und v = \( \sum\limits_{i=1}^{n}{μ_i· b_i} \)

Dann gilt  u+v = v = \( \sum\limits_{i=1}^{n}{(λ_i+μ_i)· b_i} \)  also

(u+v)^φ = \( \sum\limits_{i=1}^{n}{(λ_i+μ_i)· w_i} \)

    = \( \sum\limits_{i=1}^{n}{(λ_i· w_i+μ_i· w_i} )\)

= \( \sum\limits_{i=1}^{n}{λ_i· w_i} \) + \( \sum\limits_{i=1}^{n}{μ_i· w_i} \)

= u^φ + v^φ

"homogen" zeigst du entsprechend.