lokale änderungsrate berechnen

Question

x³ - 3•x² + 1       x₀   = 1 Wie sieht die richtige Rechnung mit der h-Methode aus ? Ich komme leider auf ein anderes Ergebnis als bei meiner Ableitung.

Answer 1

f(x) = x³ - 3x² + 1

m = (f(x + h) - f(x)) / h

m = ((x + h)³ - 3(x + h)² + 1 - (x³ - 3x² + 1)) / h

m = ((x³ + 3·h·x² + 3·h²·x + h³) - (3·x² + 6·h·x + 3·h²) + 1 - x³ + 3x² - 1) / h

m = (3·h·x² + 3·h²·x - 6·h·x + h³ - 3·h²) / h

m = 3·x² + 3·h·x - 6·x + h² - 3·h

für lim h --> 0

m = 3·x² - 6·x

Setze jetzt x = 1 ein

m = 3·1² - 6·1 = -3

Answer 2

$\begin{aligned} m &= \lim_{h\to 0} \frac{\left(1^3 - 3\cdot 1^2 + 1\right) - \left((1+h)^3 - 3\cdot (1+h)^2 + 1\right)}{h} \\&=\lim_{h\to 0} \frac{-2 - (1+h)^3 + 3\cdot (1+h)^2 - 1}{h}\end{aligned}$

Jetzt die Potenzen ausmultiplizieren. Dann heben sich die konstanten Summanden gegenseitig auf. Dann kannst du $h$ ausklammern und wegkürzen. Dadurch fällt das $h$ im Nenner weg und du kannst für $h$ im Zähler 0 einsetzen.