lokale änderungsrate berechnen

Question

x³ - 3•x² + 1       x₀   = 1 Wie sieht die richtige Rechnung mit der h-Methode aus ? Ich komme leider auf ein anderes Ergebnis als bei meiner Ableitung.

Answer 1

f(x) = x^3 - 3x^2 + 1

m = (f(x + h) - f(x)) / h

m = ((x + h)^3 - 3(x + h)^2 + 1 - (x^3 - 3x^2 + 1)) / h

m = ((x^3 + 3·h·x^2 + 3·h^2·x + h^3) - (3·x^2 + 6·h·x + 3·h^2) + 1 - x^3 + 3x^2 - 1) / h

m = (3·h·x^2 + 3·h^2·x - 6·h·x + h^3 - 3·h^2) / h

m = 3·x^2 + 3·h·x - 6·x + h^2 - 3·h

für lim h --> 0

m = 3·x^2 - 6·x

Setze jetzt x = 1 ein

m = 3·1^2 - 6·1 = -3

Answer 2

\(\begin{aligned} m &= \lim_{h\to 0} \frac{\left(1^3 - 3\cdot 1^2 + 1\right) - \left((1+h)^3 - 3\cdot (1+h)^2 + 1\right)}{h} \\&=\lim_{h\to 0} \frac{-2 - (1+h)^3 + 3\cdot (1+h)^2 - 1}{h}\end{aligned}\)

Jetzt die Potenzen ausmultiplizieren. Dann heben sich die konstanten Summanden gegenseitig auf. Dann kannst du \( h \) ausklammern und wegkürzen. Dadurch fällt das \( h \) im Nenner weg und du kannst für \( h \) im Zähler 0 einsetzen.