für welche reellen Werte von p alle alle reellen x negativ?

Question

Für welche reellen Werte von p ist

(4 − p)x^2 + (2p + 2)x − (7p + 1)

für alle reellen x negativ?

Das Problem was ich hier habe sit das wenn x- Negativ seine soll muss ich die Parabel im 2 und 3 quadranten befinden weis aber nicht genau wie ich das jetzt anstellen soll.

bzw. wie soll man das genau anstellen?

Answer 1

p=4 gäbe eine Gerade mit pos. Steigung, also schon mal nicht geeignet.


Wie du sagst: Parabel nach unten geöffnet, also schon mal  ( 4-p) negativ.

Nullstellen wären vorhanden bei 

 (4 − p)x² + (2p + 2)x − (7p + 1) = 0  


x =  -2p - 2 ± √ (  (  -2p - 2 ) ^2  + 4 *  (4 − p)*  (7p + 1)  )    /   ( 2 *  (4 − p) )

soll aber keine geben, also muss der Term in der Wurzel negativ sein:

(  -2p - 2 ) ^2  + 4 *  (4 − p)*  (7p + 1)    < 0

-24p² + 116 p + 20  < 0

gleich 0 ist es jedenfalls für p=5 und p = -1/6 

Da diese Parabel  ( mit p statt x )  nach unten  geöffnet ist,

ist es negativ für  p  < -1/6   oder für p > 5 .

Allerdings soll ja auch  4-p negativ sein, also  p > 4 .

Damit bleibt p>5 übrig.  Für p>5 sind alle Werte negativ.