Sind folgede Vektoren linear abhängig in V?

Question

Sind folgende Vektoren linear abhängig in V?  (i) $$ V\quad =\quad { ℝ }^{ 3 },\quad \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$  (ii) $$ V\quad =\quad { ℝ }^{ 3 },\quad \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} $$    (iii) $$ V\quad =\quad { ℝ }^{ 3 },\quad \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}  $$   (iv) V = {f : ℝ → ℝ, f Polynom}, f₁, f₂, f₃, f₄ ∈ V:     f₁(x) = 1+x, f₂(x) = 1-x, f₃(x) = x², f₄(x)=3 ∀x ∈ ℝ                                           Meine Lösung ist bei (i) linear abhängig, (ii) linear unabhängig, (iii) linear abhängigaber bei (iv) weiß ich nicht wie ich vorgehen soll.

Answer 1

i, ii, iii sind richtig

Für iv, nimm stattdessen V=ℝ³ und untersuche \( \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix} \) auf lineare Abhängigkeit.

Comments

Wieso ist das das selbe wie bei iv in der Angabe, das verstehe ich nicht.

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Jedes Polyom hat die Form f(x)  = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + a_nxⁿ

Ich habe gesehen, dass keines der gegebenen Polynome einen Grad ≥ 3 hat, und einfach die Koeffizienten untereinander geschrieben: \( \begin{pmatrix}a_0\\a_1\\a_2\end{pmatrix}\ \) . Zwischen den Polynomen vom Grad < 3 und den so erstellten Koordinatenvektoren gibt es eine umkehrbare Abbildung, die mit der Vektoraddition und der skalaren Multiplikation veträglich ist.

Answer 2

  Meine Lösung ist bei (i) linear abhängig,     stimmt.

(ii) linear unabhängig,    stimmt

(iii) linear abhängig    stimmt auch

aber bei (iv) weiß ich nicht wie ich vorgehen soll.   z.B. so:

a*f1 + b*f2 + c*f3  + d*f4  = 0-Polynom 

und dann nach Potenzen von x sortieren gibt sowas

c*x^2  + ( a-b)*x +(a+b+3d)  = 0 gibt  c = 0 und

          a-b=0  

            a+b+3d = 0 

und das hat nicht zwingend die Lösung a=b=c=d=0 sondern auch

a=3   b=3   d= -2   c=0 .  Also lin. abh.