Ideal in den ganzen Zahlen

Question

weiß jemand, welches m∈ℤ folgendes Ideal I erzeugt in ℤ?
I⊂ℤ Ideal mit Erzeugendenmenge: (n⁵-n:  n∈ℤ)

Comments

Vermutlich m = ±30.

Answer 1

nn hat Recht. Da \(\mathbb Z\) ein Hauptidealring ist, kann man einfach das kleinste positive \(m\) als Erzeuger wählen. Wäre \(m=30\) kein ggT aller Elemente von \(I\), könnte \(I\) auch kein Ideal sein. Um auszuschließen, dass es ein kleineres Element als \(m\) in \(I\) gibt, würde ich Folgendes vorschlagen:

$$n^5-n=n(n^4-1)=n(n^2-1)(n^2+1)=(n-1)n(n+1)(n^2+1)$$

Also drei Nullstellen in \(-1,0,1\) und ein Term \(n^2+1\), der von Null weg wächst. Also ist die Funktion zumindest außerhalb von \([-1,1]\) streng monoton steigend, weil wir einen positiven Leikoeffizienten und ungeraden Grad haben.

Ansonsten per Ableitung oder Induktion oder was dir sonst so in den Sinn kommt.