Lösen Sie durch aufstellen einer geeigneten quadratischen Funktion

Question

a) Ein rechteckiger Acker ist 100 m breit und 80 m lang. Bei einer Flurbereinigung wird er in der Länge und Breite um die gleiche Strecke größer. Die Fläche vergrößert sich dabei um 4000 m². Um wieviel Meter wird das Grundstück breiter und länger?

b) Eine Zahl wird von 13 subtrahiert. Die selbe Zahl wird zu 21 addiert. Die Ergebnisse beider Rechnungen werden miteinander multipliziert. Wie ist die Zahl zu wählen damit das Produkt möglichst groß ist?

Answer 1

b) Eine Zahl x wird von 13 subtrahiert. 13-x 

Die selbe Zahl wird zu 21 addiert. 21+x

 Die Ergebnisse beider Rechnungen werden miteinander multipliziert. (13-x)(21+x)  

Wie ist die Zahl zu wählen damit das Produkt möglichst groß ist? 

f(x) = (13-x)(21+x)      | weil hier -x^2 vorkommt, ist der Graph eine nach unten geöffnete Parabel.

Die Nullstellen kannst du hier schon ablesen. x1 = 13 und x2 = -21. Die Extremalstelle befindet sich in der Mitte zwischen diesen beiden Nullstellen. xs = (13 + (-21))/2 = -8/2 = -4 

Das Produkt ist möglichst gross, wenn x = -4 ist. 

Answer 2

Zu a) x sei die Meterzahl, um die der Acker in beiden Richtungen vergrößert wird. Länge l und Breite b des Ackers nach der Flurbereinigung l = 80+x, b = 100+x. Fläche dieses Ackers (80+x)(100+x) = 8000+4000. Quadratische Gleichung lösen

Zu b) Die Zahl um die es geht sei x. Dann soll das Produkt P(x) = (13-x)(21+x) möglicht groß werden. Bestimme also den Scheitelpunkt der Parabel mit der Gleichung P(x) = (13-x)(21+x).

Comments

Könntest du mir Aufgabenteil a nochmal genauer erklären. Bis zu diesem Schritt war ich auch schon aber was genau soll aufgelöst werden?

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Schreib doch bitte demnächst auf, wie weit du schon gekommen bist und vor allem, was noch unklar ist.

1. Links multiplizieren, rechts addieren ergibt

8000+180x+x² = 12000

Umsortieren und auf beiden Seiten - 12000 ergibt

x²+180x-4000=0

pq-Formel anwenden ergibt

x_1/2=-90±√(90²+4000) oder x_1/2= -90±√12100

Das führt zu x₁ = - 200 und x₂ = 20

Die negative Lösung entfällt, da der Acker größer werden soll.

Länge und Breite werden die gleiche Strecke x= 20m größer.