Eine Topologie von \(X\) ist eine Teilmenge der Potenzmenge \(\mathcal P(X),\) für die folgende Topologieeigenschaften gelten:
\(1)\ X\in M,\ \emptyset \in M\!: \emptyset \in M\) nach Konstruktion, \(X \in M,\) da \(X=X\setminus\emptyset\) und \(|\emptyset|=0<\infty.\)
\(2)\ \) Für eine Indexmenge \(I\) sei \((T_i)_{i\in I}\) eine Familie von Elementen \(T_i\in M.\) Dann muss auch \(\bigcup_{i\in I}T_i\in M\) gelten.
Sei dafür für alle \(i\in I\!: M_i:=X\setminus T_i=(T_i)^c.\) Da \(T_i\in M\) ist \(M_i\) abzählbar für alle \(i\in I\).
\(\bigcup_{i\in I}T_i=\bigcup_{i\in I}(M_i)^c=\bigcup_{i\in I}X\setminus M_i=X\setminus\left(\bigcap_{i\in I}M_i\right).\) Dies gilt nach den DeMorgan'schen Regeln für alle Mengen.
Da nach Voraussetzung alle \(M_i\) abzählbar sind, ist auch ihr Schnitt abzählbar, da er ja kleiner oder gleich mächtig ist wie die kleinste Menge, über die der Schnitt gebildet wird. Also ist \(\bigcup_{i\in I}T_i=X\setminus\left(\bigcap_{i\in I}M_i\right)\in M.\)
\(3)\ \) Für \(n\in \mathbb N\) und \(T_1, ..., T_n\in M\) gilt: \(\bigcap_{i=1}^nT_i\in M.\)
Sei wieder für alle \(i=1, ... , n\!: M_i=(T_i)^c\). Dann gilt:
\(\bigcap_{i=1}^nT_i=\bigcap_{i=1}^n(M_i)^c=\bigcap_{i=1}^nX\setminus M_i=X\setminus\left(\bigcup_{i=1}^nM_i\right).\)
Die Vereinigung endlich vieler abzählbarer Mengen ist wieder abzählbar. Abzählbar heißt ja, du kannst die Menge als (möglicherweise unendlich lange) Liste von Elementen schreiben. Wenn du jetzt \(n\) solche Listen von Elementen in \(M_1, ..., M_n\) anfertigst und untereinander schreibst, kannst du eine neue Liste erstellen, in die von oben nach unten alle ersten Einträge anschreibst, dann alle zweiten, usw. Dann hast du eine Liste aller Elemente von \(\bigcup_{i=1}^nM_i\) und die Menge ist somit wieder abzählbar.
\(M'\) ist keine Topologie, weil wenn du wie vorher vorgehst, kommst du im zweiten Schritt zum Ausdruck \(\bigcup_{i\in I}T_i=X\setminus\left(\bigcap_{i\in I}M_i\right)\) und du weißt nicht, ob \(\bigcap_{i\in I}M_i\) wieder unendlich ist. In \(\mathbb N\) beispielsweise wären die Mengen der geraden natürlichen Zahlen \((2\mathbb N)\) und die Menge der ungeraden natürlichen Zahlen \((2\mathbb N+1)\) beide unendlich, aber \((2\mathbb N)\cap (2\mathbb N+1)=\emptyset.\)
Bei der zweiten Aufgabe kannst du gleich vorgehen, du brauchst im Prinzip nur die Eigenschaften \(\bigcup_{i\in I}f^{-1}(A_i)=f^{-1}\left(\bigcup_{i\in I}A_i\right)\) und dasselbe für Schnitte. Weil \(A_i\) schon aus einer Topologie sind, kannst du die Topologieeigenschaften von \(T_Y\) verwenden, um die Aussage zu zeigen.
Für den letzten Teil, nimm an, dass es eine Metrik \(d\) geben würde, die für alle Punkte \(a\) nur zwei "Bälle" um \(a\) erzeugt: \(\forall r\in \mathbb R\!:\{b\in X\!:d(a,b)<r\}=X\lor \{b\in X\!:d(a,b)<r\}=\emptyset.\) Die Bedingung \(\{b\in X\!:d(a,b)<r\}=\emptyset\) ist genau dann erfüllt, wenn \(r\leq 0,\) weil einerseits \(\forall a,b\in X\!:d(a,b)\geq0\) und andererseits \(\forall a\in X\!:d(a,a)=0,\) also für jedes positive \(r\) zumindest \(a\) in der Menge enthalten ist. Damit die Metrik die indiskrete* Topologie erzeugt, müsste also für alle \(r>0\) gelten, dass \(\{b\in X\!:d(a,b)<r\}=X.\) Weil es aber für alle \(r>0\) gelten muss, muss \(d(a,b)=0\) für alle \(b\in X.\) Dies steht im Widerspruch zur ersten Metrikeigenschaft \(d(a,b)=0\Leftrightarrow a=b.\)
*) die Klumpentopologie ist die indiskrete Topologie, die diskrete ist die ganze Potenzmenge, also in gewissem Sinn das genaue Gegenteil. Die Aussage wäre für die diskrete Topologie auch falsch.
