Erklärung zum Hauptsatz der Integralrechnung

Question

Ich habe eine Verständnisfrage zum Hauptsatz der Integralrechnung. Dazu ein Textauszug:

Setzt man y=f(x) und betrachtet ein kleines Teilintervall [x;x+Δx] von [a;b], so beträgt die Differenz der Funktionswerte Δy=f(x+Δx)−f(x).

Δy ist näherungsweise gleich f′(x)⋅Δx. Zerlegt man das Intervall [a;b] in Teilintervalle der Breite Δx, so ergibt die Summation der Δy (im Grenzwert Δx→0) daher das Integral ∫baf′(x)dx. Andererseits liefert die Summation der Δy=f(x+Δx)−f(x) aber auch die gesamte Änderung f(b)−f(a) der Funktionswerte zwischen a und b.

Meine Frage:

Ist Δy nun die Differenz der Funktionswerte und / oder der Flächeninhalt des Teilintervalls?

Wenn ich die beiden Formeln

Δy= f′(x)⋅Δx und Δy=f(x+Δx)−f(x) mit der Funktion x² und der Ableitung 2x durchrechne (mit x1=2 und x2=4), dann komme ich in der ersten auf 8 (4 mal 2) und bei der anderen auf 12 (16-4). Was mache ich da falsch?

vielen Dank

Honscho

Answer 1

Setzt man y=f(x) und betrachtet ein kleines Teilintervall [x;x+Δx] von [a;b], so beträgt die Differenz der Funktionswerte Δy=f(x+Δx)−f(x).

Hier ist "kleines" nicht so wichtig, das stimmt immer, aber hier:

Δy ist näherungsweise gleich f′(x)⋅Δx.

ist der Haken.  Das gilt wirklich nur bei "kleinen" Teilintervallen.

Nimm mal statt 2 bis 4 das Intervall von  2,95 bis 3 .   Da macht es schon mehr Sinn.

Answer 2

Ich will deine Frage "Ist Δy nun die Differenz der Funktionswerte und/oder der Flächeninhalt des Teilintervalls?" beantworten:

Im allgemeinen ist Δy  die Differenz der Funktionswerte. Ein Intervall hat keinen Flächeninhalt sondern nur eine Länge (bzw. Breite).