Ich habe eine Verständnisfrage zum Hauptsatz der Integralrechnung. Dazu ein Textauszug:
Setzt man y=f(x) und betrachtet ein kleines Teilintervall [x;x+Δx] von [a;b], so beträgt die Differenz der Funktionswerte Δy=f(x+Δx)−f(x).
Δy ist näherungsweise gleich f′(x)⋅Δx. Zerlegt man das Intervall [a;b] in Teilintervalle der Breite Δx, so ergibt die Summation der Δy (im Grenzwert Δx→0) daher das Integral ∫baf′(x)dx. Andererseits liefert die Summation der Δy=f(x+Δx)−f(x) aber auch die gesamte Änderung f(b)−f(a) der Funktionswerte zwischen a und b.
Meine Frage:
Ist Δy nun die Differenz der Funktionswerte und / oder der Flächeninhalt des Teilintervalls?
Wenn ich die beiden Formeln
Δy= f′(x)⋅Δx und Δy=f(x+Δx)−f(x) mit der Funktion x² und der Ableitung 2x durchrechne (mit x1=2 und x2=4), dann komme ich in der ersten auf 8 (4 mal 2) und bei der anderen auf 12 (16-4). Was mache ich da falsch?
vielen Dank
Honscho