Untersuchen Sie, ob folgende Vektoren x1 ; x2 im K -Vektorraum V linear unabhängig sind

Question

 Untersuchen Sie, ob folgende Vektoren x1 ; x2 ; x3 im K -Vektorraum V linear unabhängig sind

Answer 1

soll wohl heißen

x₁ = 1   x₂ = √2    x₃ = √3.

Bei IR als IR Vektorraum sind die Skalare die reellen Zahlen. Dann ist

a * 1  +  b*√2  + c* √3  = 0     lösbar z. B. für

a= - √2    b=1    und  x₃ = 0  also lin . abhängig.

Als Q-Vektorraum allerdings nur die triviale Lösung

a=b=c=0  möglich, denn wäre etwa a ≠ 0  #  , dann wäre 

b*√2  + c* √3  =  - a  .

1. Fall  b=0 und c=0 :  Dann  0 = -a im Widerspruch zu #

2. Fall  b=0  und c ≠ 0 

Dann wäre    c* √3  =  - a    also wegen c ≠ 0  

                 √3  =  - a  / c   also √3  Quotient rationaler Zahlen

                und damit rational.  Widerspruch zu √3  ist irrational

3. Fall    c=0  und b ≠ 0      analog zum 2. Fall

4. Fall      b ≠ 0  und c ≠ 0 

Dann folgt aus b*√2  + c* √3  =  - a  durch Quadrieren

                        2b²  + 2bc*√6  + 3c² = a²

                                     2bc*√6   = a²  -3c²  - 2b²

und da 2bc ≠0     also        √6   = (a²  -3c²  - 2b² ) /   (2bc)

und damit wäre    √6  rational. Widerspruch.

Nun fehlt noch der Fall a=0 .

Also    b*√2  + c* √3  = 0    

                       b*√2  = -  c* √3  

Und wenn jetzt b oder c gleich 0 wären offenbar ein Widerspruch

Und wenn beide ungleich 0 sind, dann wäre 

                                                 √(2/3)   = -  c / b im Widerspruch zu    
                                                 √(2/3)  ist irrational.