Surjektiv zeigen für f: R-> (0,1], x → 1/(1+x^2) und injektiv für f:N->Q, x → n/(2n+1)

Question

Halli kann mir jemand den Lösungsweg erklären ?! Ich kenne zwar die Bedeutung von surjektiv, bijektiv und injektiv, weiß aber leider nicht, wie ich diese bei der Aufgabe beweise !?

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass

1. \( f: \mathbb{R} \longrightarrow(0,1], x \longmapsto \frac{1}{1+x^{2}}, \) surjektiv ist.
2. \( f: \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{Q}, n \longmapsto \frac{n}{2 n+1}, \) injektiv ist.

 Vielen Dank schonmal 

Answer 1

1.  f(0) = 1  und f ist für x>0 streng monoton fallend und stetig und es ist

der Grenzwert für x gegen unendlich = 0.  Also  (0;1] ganz in Bild(f), also f

surjektiv.

2.   seien  n und k aus IN mit  n/(2n+1) =  k / ( 2k+1)  

       ⇔   1 / ( 2  + 1/n )   =   1 / ( 2 + 1/k)

⇔    2  + 1/n   =   2 + 1/k     


⇔     1/n   =   1/k 

⇔     n   =   k     also Injektiv.

Answer 2

Surjektiv zeigen für f: R-> (0,1], x --> 1/(1+x^2) 

Sei u Element (0,1], so ist 1/u >1 also 1/u - 1 > 0 und man kann

u = 1/(1+x^2) nach x auflösen.

1+x^2 = 1/u

x^2 = 1/u  - 1      | Wurzel lässt sich ziehen. Z.B. pos. Lösung angeben

x = √(1/u - 1) 

Mit dieser Formel kann man für jedes Element u in (0,1] ein Urbild finden. q.e.d "surjektiv". 

und injektiv für f:N->Q, x --> n/(2n+1)

Beweis indirekt. Annahme

m/(2m+1) = k/(2k+1)   mit k≠m und beide Element N. 

und nun einen Widerspruch zu k≠m konstruieren. Versuch das mal. 

Answer 3

a) 

f: ℝ → ] 0 ; 1]  ;  x ↦ 1 / (x²+1)

Zu zeigen:  Für alle y ∈  ] 0 ; 1]  gibt es x ∈ ℝ  mit   y = 1 / (x²+1) 

Sei also y ∈ ] 0 ; 1]  

y = 1 / (x²+1)   ⇔  x²+1 = 1/y    ( y≠0!)

⇔  x² =  1/y -1  ( > 0)

⇔ x =  √( 1/y -1)    oder  x = - √( 1/y -1)

→   f ist surjektiv

b) 

f: ℕ → ℚ  ;  n ↦  n /(2n+1)

Zu zeigen:  n ≠ m   →  n / (2n+1)  ≠  m / (2m+1)        für alle n,m ∈ ℕ

⇔  n * (2m+1)  ≠   m *  (2n+1)    

⇔  2mn + n ≠ 2mn + m

⇔  n = m

→  f ist injektiv 

Gruß Wolfgang