Zeigen Sie, dass eine Gruppe (G, ∗), die die Eigenschaft...

Question

$$Zeigen\quad Sie,\quad dass\quad eine\quad Gruppe\quad (G,∗)\quad ,die\quad die\quad Eigenschaft\\ ∀a,b∈G:{ (a∗b) }^{ 2 }={ a }^{ 2 }∗{ b }^{ 2 }\quad \quad erfüllt,\quad abelsch\quad ist.$$

Answer 1

Ist zu zeigen:  Für alle a,b ist   a*b = b*a

Seien also a,b aus G.   Dann gilt  lt. Vor.

(a*b)*(a*b) = (a*a)*(b*b)     | * b^-1   existiert wegen Gruppe

(a*b)*(a*b)* b^-1   = (a*a)*(b*b) * b^-1     mehrmals assoziativ und inv. anwenden

(a*b)*a  =   (a*a)*b        | * a^-1   existiert wegen Gruppe

 a^-1  *( (a*b)*a  )=  a^-1  ( (a*b)*a   )  wieder   mehrmals assoziativ und inv. anwenden

     a*b   =   b*a    q.e.d.