Zeigen Sie, dass G eine abelsche Gruppe ist.

Question

Es sei (G, ∗) eine Gruppe mit neutralem Element n, für die gilt:Für alle a ∈ G ist a ∗ a = n.Zeigen Sie, dass G eine abelsche Gruppe ist.Wie kann ich sowas beweisen. Bitte mir Erklärung.Danke :)

Answer 1

seien a,b ∈ G. Sicher ist auch a ∗ b ∈ G.
Es gilt nach Voraussetzung a ∗ a = b ∗ b = (a ∗ b) ∗ (a ∗ b)  =  n.
Wiederholte Anwendung des Assoziativgesetzes liefert
a ∗ ((a ∗ b) ∗ (a ∗ b)) ∗ b = a ∗ n ∗ b
(a ∗ a) ∗ (b ∗ a) ∗ (b ∗ b) = a ∗ b
n ∗ (b ∗ a) ∗ n = a ∗ b
b ∗ a = a ∗ b.

Gruß