wie weist man nach, dass die 2. ableitung beim durchgang durch O einen vorzeichenwechsel erfährt?

Question

Heey :)

brauche hilfe bei einer fragestellung:

Allle Potenzfunktionen f(x)= xⁿ, n ungerade und n≥3, haben einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente (Sattelpunkt) in O (0|0). Weisen Sie nach, dass die 2. Ableitung beimDurchgang durch O einen Vorzeichenwechsel erfährt.

Versteht da jmd.

Danke

Answer 1

Hi,
(a) die zweite Ableitung lautet
$$ f''(x) = n \cdot x^{n-2} \cdot (n-1) $$ Da \( n \ge 3 \) ist, folgt
$$ f''(0) = 0 $$
(b) Da \( n \) ungerade ist, ist auch \( n - 2 \) ungerade. Das bedeutet, für \( x \gt 0 \) ist auch \( f'' > 0 \) und für \( x < 0 \) ist \( f'' < 0 \)

Answer 2

f(x) = x^n

f'(x) = n·x^{n - 1}

f''(x) = x^{n - 2}·(n^2 - n)

Die zweite Ableitung hat einen Vorzeichenwechsel, wenn x^{n - 2} einen Vorzeichenwechsel hat. Der Exponent ist hier ngerade wenn n ungerade ist. Damit hat die zweite Ableitung einen Vorzeichenwechsel.