Differenzengleichung für Kapital K_t aufstellen, klassifizieren und lösen

Question

Frau Reitmeir verfügt zu Beginn des Jahres 2002 auf ihrem Sparkonto über 5.000 EUR Sie beabsichtigt, diesem Betrag von 2002 an am Jahresende jeweils 1.000 EUR hinzuzufügen. Außerdem ist mit der Bank
eine jahrliche Verzinsung von 5% vereinbart worden.

1. Stellen Sie eine Differenzengleichung für das jeweils am Jahresende vorhandene Kapital K_t auf und klassifizieren Sie die Differenzengleichung.

2. Über wieviel verfügt Frau Reitmeir am Ende des Jahres 2005? Von 2006 an will sie von ihrem Sparkapital 5 Jahre lang jeweils am Jahresende einen festen Betrag R abheben. Stellen Sie eine Differenzengleichung für das verbleibende Restkapital nach der jeweiligen Abhebung auf und ermitteln Sie den jährlich zur Verfügung stehenden Betrag R.

Hinweis: Nach der letzten Abhebung Ende des Jahres 2010 soll das Kapital aufgebraucht, also K_t = 0 sein; der Zinssatz sei weiterhin 5% p.a. Die Frage ist durch Lösen der Differenzengleichung zu beantworten.

Answer 1

1) Die Differenzengleichung lautet:

K _t = ( 1 + ( p / 100 ) ) * K _{t - 1} + b

bzw. mit p = 5 und b = 1000:

K _t = 1,05 * K _{t - 1} + 1000

 

Es handelt sich um eine lineare Differenzengleichung ( K _{t - 1} tritt nur  in der ersten Potenz auf und sein Koeffizient 1,05 hängt nicht von t ab ) 1. Ordnung (K _t hängt nur von einem Vorgänger, nämlich K _{t - 1}  ab)  mit konstantem Koeffizienten (1,05 ) und konstanter Inhomogenität ( 1000 ).

Der Startwert ist laut Aufgabenstellung K ₀ = 5000

 

2) Gesucht ist nach dem Kapital am Ende des Jahres 2005, das entspricht K ₄ , also:

K ₄ = 1,05 * K ₃  + 1000

Für lineare Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten a ungleich 1 ( hier: a = 1,05 ) und konstanter Inhomogenität b ( hier: b = 1000 ) gibt es eine geschlossene Lösungsformel. Sie lautet:

K _t  = a ^t * ( K ₀ -  b / ( 1 - a ) ) + b / ( 1 - a )  

Mit K ₀ = 5000, a = 1,05 und b = 1000 ergibt sich daraus für K ₄ :

K ₄ = 1,05 ⁴ * (  5000 - ( 1000 / - 0,05 ) ) + 1000 / - 0,05 = 10387,66 Euro (gerundet)

 

Nun soll der Betrag B ₀ = K ₄ = 10387,66 in 5 gleichen Raten R verbraucht werden, es soll also gelten:

B ₅ = 1,05 * B ₄ - R = 0

Nach der Lösungsformel gilt (Achtung: Der Parameter b in der Lösungsformel muss mit - R belegt werden!): 

B ₅ =  1,05 ⁵ * ( B ₀ - ( - R / - 0,05  ) ) - R / - 0,05 = 0

Auflösen nach R ergibt:

<=> 1,05 ⁵ * B ₀ - 1,05 ⁵ * R / 0,05 + R / 0,05 = 0

<=> 1,05 ⁵ * 0,05 * B ₀ = 1,05 ⁵ * R - R 

<=> R = (1,05 ⁵ * 0,05 * B ₀ ) / (1,05 ⁵ - 1 )

Setzt man B ₀ = 10387,66 so erhält man: R = 2399,29 Euro (gerundet).

Man kann also 5 Jahre lang jeweils am Jahresende 2399,29 Euro abheben, dann ist das Kapital verbraucht.

Comments

Der Beitrag ist zwar schon etwas älter, aber vielleicht hilft es dennoch jemanden...
Meiner Meinung nach stimmt die Lösung nicht. Warum?
--> Die 1000€ werden am Jahresende hinzugefügt und somit ab dem Jahr 2003 mit verzinst.

Die Differenzengleichung sollte somit so aussehen (inhomogene DG 1. Ordnung und 1. Grades):
K_{t =} 1,05^k * 5250 + 1050 * (1,05^k -1)/0,05

Daraus ergibt sich, dass nicht K₄, sondern K₃ gesucht ist, da wir ja mit der DG schon ein Jahr weiter sind, also nicht mit 5000 Euro im Jahr 2002 starten, sondern mit 5250 Euro im Jahr 2003

K₃ = 9387,66 Euro