Quotientenregel: Bestimmen Sie die Ableitung der folgenden Funktionen f(x)=(x²+1)/(2x+3)

Question

Quotientenregel: Bestimmen Sie die Ableitung der folgenden Funktionen

a) \( f(x)=\frac{x^{2}+1}{2 x+3} \)

b) \( \mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}-1} \)

c) \( f(x)=\frac{x-1}{x^{2}+1} \)

Answer 1

Die Quotientenregel lautet einfach

(u/v)' = (u'v - uv')/(v^2)

 

a)

u = x^2 + 1

u' = 2x

v = 2x + 3

v' = 2

v^2 = (2x + 3)^2

Alles eingesetzt und ausmultipliziert ergibt:

f'(x) = (2x^2 + 6x - 2)/(4x^2 + 12x + 9)

 

b)

u = x

u' = 1

v = x - 1

v' = 1

v^2 = (x - 1)^2

Alles eingesetzt und ausmultipliziert ergibt:

f'(x) = -1/(x-1)^2

 

c) 

u = x - 1

u' = 1

v = x^2 + 1

v' = 2x

v^2 = (x^2 + 1)^2

Alles eingesetzt und ausmultipliziert ergibt:

f'(x) = (-x^2 + 2x + 1)/(x^4 + 2x^2 + 1)