Ableitung der Funktion f mithilfe der Quotientenregel berechnen. f(x)= (x+3)/ (2x)

Question

Wir haben das Thema die Quotientenregel und die Aufgabe lautet:

An welcher Stelle hat die Ableitung der Funktion f mit f(x)= (x+3)/ (2x) den Wert -0.5?

Geben Sie die Gleichung der Tangente im Punkt P (1/g(1)) an für g(x)= (x)/(x+1)

Kann mir jemand sagen wie ich da vorgehen muss? Ich verstehe absolut gar nichts.

Answer 1

f(x) ableiten. Dann willst du ja wissen, bei welchem x-Wert die Ableitung den Funktionwert -0.5 erhält. Also die Ableitung gleich -0.5 setzen.

Den Punkt der Tangente hast du geben. Um den y-Wert für P herauszubekommen, musst du den Wert für x einsetzen.
Dann mit der g'(1) die Steigung dafür ermitteln.
Eine Tangentengleichung lautet: y=mx+b

Comments

Also das u = x + 3 und für v = 2x habe ich  nun abgeleitet und bekomme f'(x)= (-6)/ (2x)^2 aber wie weiter verstehe ich nicht...

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Die Ableitung ist \(-\dfrac{3}{2x^2}\) und nicht -6...
Dann setzt du die Funktion gleich -0.5, also \(-\dfrac{3}{2x^2}=-0.5\)

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Ich verstehe nicht wie du auf -3 kommst?

Ich habe die Ableitung so berechnet von  f(x)= (x+3)/(2x):
u(x)= x+3
u'(x)=1
v(x)=2x
v'(x)=2
f'(x)= (2x-2x+6)/(2x^2)=6/(2x)^2

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Bei der Ableitung muss im Nenner 4x² stehen, denn die 2 wird auch quadriert.

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wie kommst du auf die 4 im Nenner?

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\((2x)^2=2x\cdot 2x =4x^2\)

Answer 2

Hallo Anna,

die Kurzform der Quotienregel kann man so schreiben:

$$f(x)=\frac{u' \cdot v-v' \cdot u}{v^2}$$

Du wählst also für u = x + 3 und für v = 2x, dann die Ableitungen bilden und alle Terme in die Formel einsetzen.

Dann setzt du f'(x) = -0,5 und löst nach x auf. 

Gruß, Silvia

Comments

Also das u = x + 3 und für v = 2x habe ich  nun abgeleitet und bekomme f'(x)= (-6)/ (2x)^2 aber wie weiter verstehe ich nicht...

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Die Ableitung ist

$$-\frac{6}{4x^2}$$ bzw.

$$-\frac{3}{2x^2}$$

Ableitung = Steigung, also setzt du die Ableitung = -0,5:

$$-\frac{3}{2x^2}=-0,5\\3 = x^2\\x=\sqrt{3}\text{ und }-\sqrt{3}$$

jetzt klar?

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Ich habe da noch eine Frage und zwar wie berechnet man x1 und x2. Ich mache das nämlich immer so:

(-3)/(2x^2)=-0.5

und dann -3= 0.5*2x^2

das gibt dann -3= x^2

aber wie komme ich auf x^1?

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(-3)/(2x2)=-0.5

und dann -3= - 0.5*2x2

das gibt dann - 3 = - x2

also 3 = x^2, dann Wurzel ziehen

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super danke!

Dann muss ich noch Geben Sie die Gleichung der Tangente im Punkt P (1/g(1)) an für g(x)= (x)/(x+1).

Hier habe ich g(x)= (x)/(x+1)

g'(x)= (1)/(x+1)^2

g'(1)=  1/4 bekommen

in den Lösungen steht nun P(1/(1/2)) und y= 1/4x+1/4

woher die Lösungen kommen verstehe ich nun aber nicht ganz.. Kannst du mir da helfen?

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Deine Berechnungen sind richtig.

Zu den Lösungen:

Um die y-Koordinate des Punktes zu bestimmen, setzt du x = 1 in die Ausgangsgleichung ein und erhältst 1/2

Die Steigung = m = 1/4

Eine Tangente (Gerade) hat die allgemeine Form

y = mx + b

Du kennst y = 1/2, m = 1/4, x = 1. Dir fehlt also nur noch b:

1/2 = 1/4 * 1 + b       | - 1/4

1/4 = b

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Super, dass habe ich nun auch verstanden. Vielen Dank! Bei der letzten Teilaufgabe zu dieser Aufgabe heisst es nun: AN welchen Stellen stimmen die Funktionswerte der Ableitungen von h mit h(x)= x^2 und m mit m(x)= -1/x^2 überein? Wie kann ich das berechnen?

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Bilde beide Ableitungen.

Setze sie gleich.

Löse diese Gleichung.

Answer 3

f(x)= (x+3)/ (2x)
=  (x)/ (2x) +  (3)/ (2x)
= 1/2 + 3/2 x^(-1)
f ' (x) = 0 + 3/2 * (-1) * x^(-2)
= - 3/(2x^2)

Vgl. mein Kommentar bei deiner andern Frage. Erst f vereinfachen und dann ableiten, ist einfacher als erst die Quaotienregel und dann mühsam vereinfachen. https://www.mathelounge.de/599565/berechnen-funktionswerte-ableitung-funktion-quotientenregel?show=599627#c599627