Zeigen das (2^n)/(n!) gegen 0 konvergiert

Question

,

ich soll zeigen dass der Grenzwert von

{ lim }_{ n->\infty  }\frac { { 2 }^{ n } }{ n! } =0

ist.

Meine Idee war es den Bruch mit { 2 }^{ n } zu erweitern.

Dann habe ich:

\frac { ({ 2 }^{ n })*{ (2 }^{ n }) }{ (n!)*{ (2 }^{ n }) }

und kann {  2}^{n } kürzen.

Da kommt \frac {  1}{n!  }  heraus und das geht gegen 0.

Kann ich das so machen? Wenn nicht warum und wie wäre die richtige Lösung?

!!

Comments

Meine Idee war es den Bruch mit { 2 }^{ n } zu erweitern ... und kann {  2}^{n } kürzen.

Ja, dann kommt wieder raus, was vorher dastand. Und wenn (wie bei Dir) nicht, dann hat man sich auch noch verrechnet.

Du wirst schon eine Abschaetzung für n! brauchen.

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exp (2) < 10

Answer 1

$$\underbrace{\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{2}}_{{}=2}\cdot\underbrace{\frac{2}{3}\cdots\frac{2}{n-1}}_{{}<1}\cdot\frac{2}{n}$$