○∶ Q×Q → Q ; a○b ∶= a + b − ab
1.) Zeigen Sie, dass ○ eine wohldefinierte Verknüpfung auf M liefert.
Mit M = ℚ \ {1} gilt:
a o b ∉ M ⇔ a+b-ab = 1 ⇔ a·(1-b) = 1-b
⇔ b=1 oder a = (1-b) / (1-b) = 1 ⇔ a∉M oder B∉M
→ Für alle (a,b) ∈ MxM ist a+b-ab ∈ M
2.) Zeigen Sie, dass (M,○) eine Gruppe ist.
neutales Element:
sei a∈M
a o n = a + n - a·n = a
n ·(1 - a ) = 0 → n = 0 , weil a≠1
inverse Elemente:
sei a∈M
a o x = a + x - a·x = 0
x · (1 - a) = - a | * (-1)
x · (a-1) = a | : (a-1) ≠ 0
x = a / (a-1) ist jeweils das inverse Element zu a
Assoziativgesetz:
seien x,y,z ∈ M
(xoy)oz = (x + y - xy) o z = (x + y - xy) + z - (x + y - xy) · z = x + y + z + x·y·z - x·y - x·z - y·z
xo(yoz) = x o (y + z - yz) = x + (y + z - yz) - x · (y + z - yz) = x + y + z + x·y·z - x·y - x·z - y·z
→ (x o y) o z = x o (y o z) für alle x,y,z ∈ M
(M,o) ist also eine Gruppe
Ist die Gruppe abelsch?
Kommutativgesetz?
seien a, b ∈ M
a o b = a + b - a·b = b + a - b·a = b o a
(M,o) ist also eine abelsche Gruppe
Gruß Wolfgang