Zeigen sie dass die verknüpfung eine eine wohldefinierte verknüpfung auf M liefiert?

Question

Wir betrachten die Menge M∶=Q∖{1} und die Verknüpfung ○∶ Q×Q→Q definiert durch a○b∶=a+b−ab

1.)  Zeigen Sie, dass ○ eine wohldefinierte Verknüpfung auf M liefert.

2.) Zeigen Sie, dass (M,○) eine Gruppe ist. Ist die Gruppe abelsch?

Ich weiß nicht wie die aussagen beweisen soll.

Mein Ansatz:

zu 2,) man muss ja die 3 axiome beweisen, dass es ein inverses existiert, dass M assoziativ ist

und ein neutrales element vorhanden hat. Wie mach ich das bei a+b-ab ?

Answer 1

○∶ Q×Q → Q  ;  a○b ∶= a + b − ab

1.)  Zeigen Sie, dass ○ eine wohldefinierte Verknüpfung auf M liefert. 

Mit M = ℚ \ {1}  gilt:

a o b ∉ M  ⇔ a+b-ab = 1  ⇔  a·(1-b) = 1-b

⇔ b=1 oder a = (1-b) / (1-b) = 1  ⇔  a∉M oder B∉M

→     Für alle (a,b) ∈ MxM  ist  a+b-ab ∈ M

2.) Zeigen Sie, dass (M,○) eine Gruppe ist.

neutales Element:

sei a∈M

 a o n = a + n  - a·n  = a

n ·(1 - a ) = 0     →  n = 0 , weil a≠1

inverse Elemente:

sei a∈M

a o x = a + x - a·x = 0

x · (1 - a) = - a    | * (-1)

x · (a-1) = a   | : (a-1) ≠ 0

x = a / (a-1)   ist jeweils das inverse Element zu a

Assoziativgesetz:

seien x,y,z ∈ M

(xoy)oz  = (x + y - xy) o z  = (x + y - xy) + z - (x + y - xy) · z  =  x + y + z + x·y·z - x·y - x·z - y·z  

xo(yoz)  = x o (y + z - yz)  = x + (y + z - yz) - x · (y + z - yz)  =  x + y + z + x·y·z - x·y - x·z - y·z  

→  (x o y) o z  =  x o (y o z)    für alle x,y,z ∈ M 

(M,o) ist also eine Gruppe

Ist die Gruppe abelsch? 

Kommutativgesetz?

seien a, b ∈ M

 a o b = a + b - a·b = b + a - b·a  = b o a 

(M,o) ist also eine abelsche Gruppe

  Gruß Wolfgang 

Comments

Huebsche Komplettloesung zum Abschreiben.

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Vielen Dank für die ausführliche Antwort :) man kann schritt für schritt verstehen.

Jedoch möchte ich fragen wie man bei

a+b-ab = 1  ⇔  a·(1-b) = 1-b  ⇔ b=1 oder a = (1-b) / (1-b) = 1 

auf die (1-b) kommt ? nach der definition ist die 1 aus Q rausgenommen d.h a und b dürfen

nicht 1 sein und es sollte auch die 1 nicht rauskommen, oder hab ich da was falsch verstanden ?

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@Fakename

abschreiben wird mir spätestens bei der klausur nicht weiterhelfen.
Danke für deine Antwort auch :)

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@ help

> und es sollte auch die 1 nicht rauskommen

So ist es, denn sonst wäre die Verknüpfung  o  in M = ℚ \ {1}  nicht abgeschlossen.

a+b-ab = 1  ⇔ a - ab = 1 - b  ⇔  a · (1-b) = (1-b) ⇔ a=1 oder b=1

zeigt, das  mit a,b  ≠ 1  - also (a,b) ∈ MxM  -   aob immer in M liegt. 

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Stimmt. Vielen Dank für Ihre schnelle Antwort und verständliche Antwort :)

Answer 2

Finde ein \(e\in M\), sodass \(a\circ e=a\) für alle \(a\in M\) gilt. Nach Definition von \(\circ\) bedeutet das \(a+e-ae=a\Leftrightarrow (1-a)e=0\).  Wenn Du das hast, geht es weiter mit der Gleichung \(a\circ\hat{a}=e\), die Du nach \(\hat{a}\) aufloesen musst. Dann hast Du das Inverse \(\hat{a}\) von \(a\) gefunden. Die Assoziativitaet rechnest Du ebenfalls nach, indem Du in \((a\circ b)\circ c=a\circ(b\circ c)\) an allen Stellen die Definition von \(\circ\) eintraegst.

Comments

1. Wohldefiniertheit sollte zu Beginn gezeigt werden.

2. Außerdem einfacher :
    Weise nach, dass  φ :  (Q* , ·)  →  (M , ○)  gemäß  a ↦ φ(a) = 1-a  ein Isomorphismus ist.

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Erklaere mal, wieso es für jemanden, der gerade die Basics uebt und da schon haengt, einfacher sein soll, einen Isomorphismus anzugeben.