Zeigen Sie, dass K[X]^{×} = K^{×} gilt.

Question

Für einen Ring R mit Eins wird die Teilmenge der bezüglich der Multiplikation invertierbaren Elemente mit R^× notiert.

Es sei K ein Körper. Zeigen Sie, dass $$ { K\left[ X \right]  }^{ \times  }={ K }^{ \times  } $$ gilt.

K[X]^x= K^x

Answer 1

Offensichtlich ist K^× ⊂ K[X]^×.

Seien p,q ∈ K[X]^× Polynome vom Grad g_p bzw. g_q. Dann hat p·q den Grad g_p + g_q.

Das neutrale Element in K[X] ist das konstante Polynom k(X) = 1. Es hat den Grad 0.

Wegen g_p, g_q ∈ ℕ ist g_p + g_q = 0 ⇔ g_p = g_q = 0, also gilt p·q=1 ⇒ p, q ∈ K^× und somit K[X]^× ⊂ K^×.

Comments

 Vielen Dank für Ihre Hilfe. Aber könnten Sie mir diese Satz erklären " Wegen g_p, g_q ∈ ℕ ist g_p + g_q = 0 " ? 

Kann gp und gq nicht <> 0  sein?

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> Kann gp und gq nicht <> 0  sein?

Addiere zwei natürlich Zahlen, so dass die Summe 0 ist. Welche Zahlen hast du addiert?

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Hallo oswald,

Warum ist K^× ⊂ K[X]^× offensichtlich? 

Vielen Dank für die Antworten soweit.

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Hallo Fragensteller,

\( K^\times \subset K[X]^\times \) ist nicht nur nicht offensichtlich, sondern ganz einfach falsch.

\( K^\times \) sind Elemente eines (nicht genauer angegebenen) Körpers.

\( K[X]^\times \) sind Polynome über einen (nicht genauer angegebenen) Körper.

Das eine kann niemals Teilmenge des anderen sein.

Grüße,

M.B.

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Dann schicke ich einen Isomorphismus vorbei. Der vermöbelt den Körper so, dass er glaubt, Teilmenge eine Polynomrings zu sein.

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Damit ist das eine immer noch keine Teilmenge, sondern höchstens isomorph zu einer anderen Teilmenge.

Answer 2

es gilt immer:

Element * Inverses = Neutrales.

Die Behauptung besagt, dass nur die konstanten Polynome invertierbar sind. Das kannst Du recht leicht beweisen.

Grüße,

M.B.

Comments

es gilt

Polynom * neutrales = Polynom

Was ist das neutrale Polynom, also dasjenige, das bei Multiplikation nichts ändert?

Grüße,

M.B.

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ich mache einen Vorbereitungskurs vor dem Studium aber ich komme außerhalb Deutschland deswegen habe ich Schwierigkeit it dem Stoff und den Begriffen. es wäre super wenn du die Lösung schreiben kann dann kann ich besser verstehen.

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es gilt für ein neutrales Element \(n\):

\( x \cdot n =x \)

Wenn \( x \) ein Polynom ist (aber nicht nur dort), muss \( n = 1 \) gelten. \( n = 1 \) ist hier nicht die "Zahl" 1, sondern das konstante Polynom \( 1 = 1x^0+0x^1+0x^2+\dots \).

Für ein inverses Element \( x^{-1} \) von \( x \) muss gelten

\( x \cdot x^{-1} = n \).

Da \(x\) ein Polynom ist (z.B. \(5x+3\)) steht dann da:

$$ (5x+3) \cdot {1\over 5x+3} = 1 $$

Problem ist, dass (hier und für viele andere) der Bruch kein Polynom mehr ist.

Es gilt für Polynome außerdem:

Wenn \( p \) den Grad \( a \) hat und \( q \) den Grad \( b \) hat, hat das Produkt \( pq \) den Grad \(a+b \).

Da das Polynom \( 1 \) den Grad \(0\) hat, gilt (s.o.):

\( {\rm\mathop grad} (x) + {\rm\mathop grad} (x^{-1}) = {\rm\mathop grad} (n) = {\rm\mathop grad} (1) = 0 \)

Daraus folgt zwingend:

\( {\rm\mathop grad} (x) = {\rm\mathop grad} (x^{-1}) = 0 \)

Damit  muss \( x \) ein konstantes Polynom sein, welches Du mit den Zahlen \( x \) identifizieren kannst.

Grüße,

M.B.

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und wenn ich schreibe alles was du geschrieben hast ist dann ist der Beweis zum Ende gekommen?

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das reicht als Beweis.

Und einiges davon hättest Du auch selber machen können.

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Danke für den Hinweis, dass die Frage hier bereits gestellt und geantwortet wurde. Zum Ende würde ich gerne wissen, inwieweit die Tatsache, dass x ein konstantes Polynom sei nun das zu zeigende beweist. Das könnte meinem allgemeinen Verständnis für diese Aufgaben dienen.

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Hallo DerFragensteller,

was genau willst Du wissen?

Grüße,

M.B.

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Du hast plausibel bewiesen, dass x ein konstantes Polynom ist, allerdings frage ich mich gerade, inwieweit das beweist, dass K[X]^x= K^x ist. Von alleine wäre ich gar nicht erst auf diese Zielführung gekommen.

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Hallo DerFragensteller,

die Frage heißt: Welche Polynome sind invertierbar?

Antwort: Die konstanten Polynome, also alle Polynome der Form \(p = C\).

Nun reicht das aber noch nicht aus, weil z.B. in den reellen Zahlen das Polynom \(p = 5\) invertierbar ist, mit \( p^{-1} = {1\over 5} \), aber das Polynom \(p = 0\) nicht.

Wenn Du nun anstatt der rellen Zahlen nur die ganzen Zahlen erlaubst, ist auch \( p=5 \) nicht invertierbar, weil \( p^{-1} = {1\over 5} \) keine ganze Zahl ist.

Polynome sind jeweils über einer bestimmten Zahlenmenge definiert, und Du musst sicherstellen, dass dort die Invertierung erlaubt ist, bzw. unter welchen Bedingungen es erlaubt ist, bzw. welche Elemente invertierbar sind, und das sind im Normalfall längst nicht alle.

Grüße,

M.B.