es gilt für ein neutrales Element \(n\):
\( x \cdot n =x \)
Wenn \( x \) ein Polynom ist (aber nicht nur dort), muss \( n = 1 \) gelten. \( n = 1 \) ist hier nicht die "Zahl" 1, sondern das konstante Polynom \( 1 = 1x^0+0x^1+0x^2+\dots \).
Für ein inverses Element \( x^{-1} \) von \( x \) muss gelten
\( x \cdot x^{-1} = n \).
Da \(x\) ein Polynom ist (z.B. \(5x+3\)) steht dann da:
$$ (5x+3) \cdot {1\over 5x+3} = 1 $$
Problem ist, dass (hier und für viele andere) der Bruch kein Polynom mehr ist.
Es gilt für Polynome außerdem:
Wenn \( p \) den Grad \( a \) hat und \( q \) den Grad \( b \) hat, hat das Produkt \( pq \) den Grad \(a+b \).
Da das Polynom \( 1 \) den Grad \(0\) hat, gilt (s.o.):
\( {\rm\mathop grad} (x) + {\rm\mathop grad} (x^{-1}) = {\rm\mathop grad} (n) = {\rm\mathop grad} (1) = 0 \)
Daraus folgt zwingend:
\( {\rm\mathop grad} (x) = {\rm\mathop grad} (x^{-1}) = 0 \)
Damit muss \( x \) ein konstantes Polynom sein, welches Du mit den Zahlen \( x \) identifizieren kannst.
Grüße,
M.B.