Konvergenz einer Reihe anhand des Quotientenkriteriums

Question

,

folgende Aufgabe:

Konvergenz $$ \sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ \frac { { 3 }^{ k } }{ { k }^{ k } }  } $$ mithilfe des Quotientenkriteriums beweisen.

Bisher bin ich so weit gekommen:

=> Quotientenkriterium

$$ \frac { { a }_{ n+1 } }{ { a }_{ n } } =\quad \frac { { 3 }^{ k+1 }*{ k }^{ k } }{ { (k+1) }^{ k+1 }*{ 3 }^{ k } } =\frac { { 3 }^{ k }*3*{ k }^{ k } }{ { (k+1) }^{ k+1 }*(k+1)*{ 3 }^{ k } } =\frac { 3*{ k }^{ k } }{ { (k+1) }^{ k }*(k+1) } $$

Ich muss ja zeigen dass das gegen 0 geht und komme jetzt leider nicht mehr weiter.

Hat da jemand Ahnung was ich machen könnte?

:))

Answer 1

$$ \lim_{k\to\infty}\frac { 3k^k }{ (k+1)^k(k+1) }\\=3\lim_{k\to\infty}(\frac { k }{ k+1 })^k\lim_{k\to\infty}\frac { 1 }{ (k+1) }\\=3\lim_{k\to\infty}(1-\frac { 1 }{ k+1 })^k\lim_{k\to\infty}\frac { 1 }{ (k+1) }\\=3\lim_{n\to\infty}{ (1-\frac { 1 }{ n }) }^{ n-1 }\lim_{k\to\infty}\frac { 1 }{ (k+1) }\\=3\lim_{n\to\infty}{ (1-\frac { 1 }{ n }) }^{ n }\lim_{n\to\infty}{ (1-\frac { 1 }{ n }) }^{ -1 }{ \lim_{k\to\infty} }\frac { 1 }{ (k+1) }\\=3*\frac { 1 }{ e }*1*0=0 $$