Wie sieht man ob eine Reihe konvergiert, unter Benutzung des Quotientenkriteriums?

Question

$$\text{Untersuchen Sie (Unter Benutzung des Quotientenkriteriums),}\\\text{ für welche reellen Zahlen}\ x\ \text{die Reihen}\\\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } n x ^ { n } \quad \text { und } \quad \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n } x ^ { n }\\\text{konvergieren.}$$

Wäre super, wenn mir hierbei jemand helfen könnte.

Answer 1

Die zweite Aufgabe ist hier bereits beantwortet.

Meinst du, du schaffst die andere auch alleine?

Das Prinzip ist genauso.

Comments

ist es richtig dass die erste also nicht konvergiert?

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Auch die erste Reihe divergiert. Die Frage ist ja für welche x die Reihe konvergiert bzw. divergiert.

Wenn Du den Quotienten zweier Folgeglieder | an1/an | nimmst erhältst du:

| a_n+1 / a_n | = (n+1) / n * | x |

Was sagt dir das jetzt in Bezug auf die Konvergenz, wenn du das x betrachtest ?

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Aber wenn ich ein x aus ]-1,1[ nehme wird die Reihe konvergieren? Oder soll ich nur die x betrachten für die diese Reihe divergiert?