Untermannigfaltigkeit : Orthogonale Projektion

Question

ich habe folgende Aufgabe:

Sei M eine Untermannigfaltigkeit des R^N und  F: R^n -> R glatt.

Sei f= F_|M : M-> R

Zeigen sie, dass grad(f(x))  die orthogonale Projektion von grad(F(x)) auf T_xM ist.

Jetzt habe ich diesen Satz im Skript gegeben:

Sehe ich das richtig, dass der Satz genau das aussagt, was ich zeigen soll?

Comments

Möglich ist es. Nur, wie genau begründet man orthogonal? Genügt es, dass die Achsen in R^n orthogonal zueinander sind? Projektion ist die Eigenschaft π * π = π . Hast du die sicher bei einem Gradienten?

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EDIT: Hier stand sehr viel Kram, den ich mal rausnehme :D

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EDIT:

Ich muss zeigen, dass :
grad (F(x) ) -  grad (f grad (F(x)) ) ⊥ TxM

Verstehe ich das richtig?

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EDIT:
Also man weiß ja auf jeden Fall, das grad(f(x)) orthogonal auf TxM liegt.
Bleibt nur noch zu zeigen, dass ich grad(F(x)) mit grad((f(x)) auf TxM projeziere.

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Ich kann dir leider nicht wirklich weiterhelfen, weil mir Mannigfaltigkeiten nicht geläufig sind. Vielleicht hat gelegentlich jemand eine klarere Antwort.

Projektionen sind in der Regel intuitiv verständlich: Egal ob z.B. Parallelprojektion oder Zentralprojektion: Die Bildmengen sind gleichzeitig Fixpunktmengen.