Gibt es Teilmengen A ⊂ R mit den Eigenschaften (i) HP(A) = Z. ...

Question

Brauche Hilfe  bei einer Aufgabe mit Teilmengen und Häufungspunkten: Ansatz wäre auch schon sehr hilfreich

Gibt es Teilmengen A ⊂ R mit den Eigenschaften 

(i) HP(A) = Z.

 (ii) HP(A) = Q ∩ [0, 1]. 

Falls ja, geben Sie solche an

Comments

 (ii) HP(A) = Q ∩ [0, 1]. Rechts steht die Menge aller rationalen Zahlen im Intervall [0,1]. 

Gibt es nicht, denn in jeder noch so kleinen Umgebung von einer jeden reellen Zahl gibt es unendlich viele rationale Zahlen. Daher auch in jeder Umgebung von z.B. 1/√2  und man kann eine Folge von rationalen Zahlen in [0,1] konstruieren, die gegen 1/√2 konvergiert. D.h. 1/√2 ist ein Element von HP(A) (Widerspruch zu HP(A) = Q ∩ [0, 1]. ) 

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Könnt ihr mir bei dieser Aufgabe helfen? 

Answer 1

Wie wäre es dann bei i)?Da gibt es welche, weil man die Menge um die Epsilon Umgebung erweitern kann so dass gilt :
U Epsilon ( unendlich) := {x €Z , x  > 1/epsilon}und U epsilon ( unendlich) := {x €Z , x  < 1/epsilon}wäre das richtig ?