Polynome sind ja dann wohl sowas wie
Σ i ∈ IN über aixi mit ai aus K .
wenn du z.B. zuerst zeigen willst ( K[X] , + ) ist eine abelsche Gruppe,
fängst du vielleicht mit "kommutativ " an und könntest sagen:
Seien p = Σ i ∈ IN über a
ix
i mit a
i aus K und
q=Σ i ∈ IN über b
ix
i mit b
i aus K zwei Polynome aus K[X].
Dann gilt nach Def. von + für Polynome
p+q = p = Σ i ∈ IN über (a
i + bi )x
i und weil Add. in K kommutativ ist
= Σ i ∈ IN über (
bi + a
i )x
i und das ist nach Def. von + in K[X]
= q+p.
Damit hast du es auf ein Gesetz in K zurückgespielt.
So ähnlich auch die anderen Axiome prüfen.