Allgemeine Frage zum Polynomring

Question

ich soll zeigen, dass die Menge K[X] der Polynome über einem Körper K ein komutativer Ringmit Einselement (mit der für Polynome üblichen Addition sowie Multiplikation) bildet.

Ich weiß, dass ich an einigen Stellen für die Ringaxiome sagen kann, dass die Axiome gelten, weil wir Polynome über K betrachten. Aber ich weiß nicht an welchen Stellen und viel wichtiger: wieso?

Answer 1

Polynome sind ja dann wohl sowas wie

Σ i ∈ IN  über a_ixⁱ   mit  a_i  aus K .

wenn du z.B. zuerst zeigen willst ( K[X] , + ) ist eine abelsche Gruppe,
fängst du vielleicht mit "kommutativ " an und könntest sagen:

Seien  p = Σ i ∈ IN  über a_ixⁱ   mit  a_i  aus K       und

q=Σ i ∈ IN  über b_ixⁱ   mit  b_i  aus K    zwei Polynome aus K[X].

Dann gilt  nach Def. von + für Polynome

p+q =   p = Σ i ∈ IN  über   (a_i  +  b_i  )xⁱ    und weil Add. in K kommutativ ist

=  Σ i ∈ IN  über   ( b_i  + a_i  )xⁱ      und das ist nach Def. von + in K[X]

=  q+p.

Damit hast du es auf ein Gesetz in K zurückgespielt.

So ähnlich auch die anderen Axiome prüfen.