Polarkoordinatenform in Koordinatenform

Question

Ermitteln Sie die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen und stellen Sie die Losung in                       Koordinatenform  (x + iy) dar.

i) (∗) z^5 = 32 ·( −√3/2 + 1/2*i) 

Answer 1

z⁵ = 32 ·( −√3/2 + 1/2*i)  = - 16·√3 + 16·i 

Allgemeine Anleitung:

w = - 16·√3 + 16·i  ;   n = 5  ;   a = - 16·√3  ;  b = 16

 Lösung der komplexen Gleichung  zⁿ = w     [ n ∈ ℕ , n ≥ 2 ]

Den Betrag  |w| = r  und das Argument φ_w  kann man aus folgenden Formeln berechnen:

|w| = r = √(a² +b²)  und  φ_w = arccos(a/r) wenn b≥0  [  - arccos(a/r) wenn b<0 ] .

Die n Werte z_k  für z = ⁿ√w  erhält man mit der Indizierung k = 0,1, ... , n-1

aus der Formel    z_k = ⁿ√r · [ (cos( (φ_w + k · 2π) / n ) + i · sin( (φ_w + k · 2π) / n ) ] 

r, φ_w  und k = 0 ... 4  einsetzen und ausrechnen und man hat die 5 Koordinatenformen. 

Gruß Wolfgang

Answer 2

Polarkoordinatenform in Koordinatenform

Comments

erstmal danke für die Antwort.Ich hatte für z^1=2*(cos 17/30pi +i*sin 17/30pi) raus.Wüsste jetzt aber nicht wie ich das in Koordinatenform umstelle,sodass ich auf -0,416 und 1,956 komme :/