Analytische Geometrie: Dreiseitige Pyramide A(3, -2, 0), B(4, 6, 3), C(6, 2, -1), S(5, 1, 13)

Question

Die Punkte

A (3 -2 0)
B (4 6 3)
C(6 2 -1) sind die Basiseckpunkte einer dreiseitigen Pyramide mit der Spitze
S (5 1 13 )

zu berechnen Pyramidenhöhe, Koordinaten des Höhenfußpunktes und Pyramidenvolumen

ich bekomme für

AB  ( 1 8 3 )
AC (3 4 -1)

Kreuzprodukt von den beiden: 2 -1 2

Ebenengleichung E:x= 3 -2-0 + r (1 8 3 ) +s 3 4 -1

E: 2x-y+2z= ( 3 -2 0) mal (2 -1 2) = 8

Gleichung der Höhe... etc etc mein r = -3

mein Fußpunkt ist nicht ganz richtig

F = 2*(-3) +5, (-3) +1 + 2*(-3) + 13 F(-1/ -2/ 7)

In der Lösung steht jedoch (-1 / 4 / 7)

und zum Volumen

V = G mal h / 3  G = AB kreuz AC also 2 -1 2 mal höhe

durch 3

kann mir jemand helfen beim Volumen und dem Fußpunkt

LG

Comments

Das ist eine ganz ähnliche Aufgabe zu
https://www.mathelounge.de/39790/ist-die-spitze-einer-dreiseitigen-pyramide-abcs-der-basis-abc

Answer 1

A = [3, -2, 0]
B = [4, 6, 3]
C = [6, 2, -1]
S = [5, 1, 13]

AB = [4, 6, 3] - [3, -2, 0] = [1, 8, 3]
AC = [6, 2, -1] - [3, -2, 0] = [3, 4, -1]

n = [1, 8, 3] x [3, 4, -1] = [-20, 10, -20] = -10 * [2, -1, 2]

E: x * [2, -1, 2] = [3, -2, 0] * [2, -1, 2]
E: 2x - y + 2z = 8

h: x = [5, 1, 13] + r * [2, -1, 2] = [2·r + 5, 1 - r, 2·r + 13]

Schnittpunkt Höhe h mit Ebene E

2(2·r + 5) - (1 - r) + 2(2·r + 13) = 8
r = -3

Fußpunkt und Höhe berechnen

F = [2·(-3) + 5, 1 - (-3), 2·(-3) + 13] = [-1, 4, 7]

|FS| = |[5, 1, 13] - [-1, 4, 7]| = |[6, -3, 6]| = 9

Nun zum Volumen

AS = [5, 1, 13] - [3, -2, 0] = [2, 3, 13]

V = |1/6 * [-20, 10, -20] * [2, 3, 13]| = |-45| = 45

Comments

ist das ein Fehler wenn ich schreibe ( -r +1 ) ? du hast geschrieben (1-r) klarer weise kommt etwas anderes heraus


aber ist das ein Fehler ...muss immer die zahl zuerst stehen??

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Es ist egal ob man schreibt (-r + 1) oder (1 - r). Es kommt auch immer das gleiche heraus, egal was du für r einsetzt.
Normalerweise schreibt man die Variablen zuerst, es sei denn der faule Mathematiker kann sich durch das Umdrehen ein Vorzeichen sparen :-)

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aber in diesem Falle würde etwas anderes herauskommen

denn (-3+1) = -2

(1-(-3) = 4

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Achtung!

(-r + 1) = (-(-3) + 1) = 4

Kommt also exakt das gleiche heraus.