maximierungsproblem klasse 9

Question

Ich bitte um Hilfe bei der aufgabe 3. Rechnung+Erklärung bitte. Danke

Answer 1

Die Grundfläche ist also das Quadrat mit der Seitenlänge x und die Höhe der

Schachtel ist h .

Durch die Breite des Papiers muss  x+h+x=60 sein,  also  2x+h = 60 

oder eben  h = 60 -2x .

Die Oberfläche ist    f(x)   =  2x² +  4x*h   und wegen  h = 60 -2x .


ist das    f(x)   =  2x² +  4x*( 60 -2x)   =  2x² +  240x   -8x²   

=  -6 x² +  240x   

Das ist eine Funktion, deren Graph eine nach unten geöffnete

Parabel ist.  Der größte Funktionswert ist also beim Scheitel.

Dieser ist bei x = 20 und der Funktionswert ist 2400.

Also muss die Schachtel eine quadratische Grundfläche

20 x 20 haben und eine Höhe von (s.o.)  h = 60 -2x

= 60-40 = 20.   Das wird also ein Würfel.

Comments

Wie kommst du auf die 60?

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Oh, schlecht gelesen. Musst du mit 80 rechnen.

Answer 2

Die Höhe des Quaders sei h, die Grundkante (Quadratseite) sei x. Dann ist die Oberfläche (1) V=2x²+4xh. Außerdem passen h und 2x auf die Breite von 80 cm. Dann ist 80=h+2x und (2) h= 80-2x. (2) in (1) eingesetzt: V(x)=2x²+4x(80-2x) oder V(x)=320x-6x² = x(320-6x). Das ist die Gleichung einer nach unten geöffneten quadratischen Parabel mit den Nullstellen x₁=0 und x₂=160/3 In der Mitte zwischen diesen Nullstellen liegt das x mit dem größten Volumen x=80/3. V(80/3) ist das größtmögliche Volumen.