Rechtwinklige Dreiecke mit Basis AC: A(0|-2) B(x|0) und C(0|y). Suche C für x=1,2 und 3.

Question

Hi,

Durch die Punkte A(0|-2) B(x|0) und C(0|y) mit x,y ∈ ℝ+ ist eine Menge rechtwinkliger Dreiecke ABC mit der Hypotenuse [AC] festgelegt. Zeichne die Dreiecke ABC für x ∈ {1;2;3} in ein Koordinatensystem, und berechne jeweils die Koordinaten der Punkte C.

Ich hab erst die Steigung m aus A und B berechnet (m = 2). Danach eine Geradengleichung aufgestellt und für t/y-abschnitt = -2 erhalten. Danach den Punkt C in die Geradengleichung eingesetzt und für y = -2 erhalten. Das würde bedeuten, dass A und C genau die selben Koordinaten haben, was natürlich nicht stimmen kann...

Was hab ich falsch gemacht? Oder ist der Ansatz ohnehin komplett falsch?

Lg und Danke

Answer 1

Der Ansatz ist falsch. Du hast die Geradengleichung für die Gerade g durch A und B berechnet und in diese die Gleichung die x-Koordinate des Punktes C (also x = 0 ) eingesetzt. Für x = 0 ergibt sich aber natürlich auf der Geraden g die y-Koordinate - 2, also die des Punktes A.

Richtig wäre gewesen, die Gleichung einer Geraden h durch den Punkt B zu bestimmen, die senkrecht auf der Geraden g mit der Steigung m = 2 steht, denn bei B soll ja ein rechter Winkel sein. Das Produkt der Steigungen zweier senkrecht aufeinander stehender Geraden ist immer gleich - 1, sodass also die für die Steigung n der Geraden h  gelten muss:

n * m = - 1

<=> n = - 1 / m

und mit m = 2:

<=> n = - 1 / 2

Die Gerade h hat also die Steigung - ( 1 / 2 ) und ihre Gleichung lautet allgemein: 

y = ( - 1 / 2 ) * x + b

Setzt man hier für x und y die Koordinaten des Punktes B ( 1 | 0 ) ein, durch den die Gerade h ja gehen soll, dann erhält man für den y-Achsenabschnitt b:

0 = - ( 1 / 2 ) * 1 + b

<=> b = 1 / 2

und das ist die gesuchte y-Koordinate des Punktes C.

 

Dies war die Lösung für den Fall x = 1. Auf dieselbe Weise bestimmt man nun auch noch die y-Koordinaten von C für die Fälle x = 2 und x = 3.

 

Man kann die Aufgabe aber auch anders lösen, etwa ganz allgemein mit dem Satz des Pythagoras, denn wegen des rechten Winkels bei B sind die Strecken AB bzw. BC Katheten und die Strecke AC Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, sodass gelten muss:

| AC | ² = | AB | ² + | BC | ²

wobei | AC | , | AB | bzw. | BC | die Längen der Strecken AB, AC bzw. BC bezeichnen sollen. Diese Längen kann man aus den Koordinaten der jeweiligen Punkte A b und C berechnen:

<=> ( xA - xC ) ² + ( yA - yC ) ² = ( xA - xB ) ² + ( yA - yB ) ² + ( xB - xC ) ² + ( yB - yC ) ²

<=> ( 0 - 0 ) ² + ( - 2 - yC ) ² = ( 0 - xB ) ² + ( - 2 - 0 ) ² + ( xB - 0 ) ² + ( 0 - yC ) ²

<=> 4 + 4 yC + yC ² = xB ² + 4 + xB ² + yC ²

<=> 4 yC = 2 xB ²

<=> yC = ( 1 / 2 ) xB ²

Nun hat man eine allgemeine Gleichung für die y-Koordinaten der Punkte C in Abhängigkeit von der x-Koordinate der Punkte B.

Für xB = 1, 2, 3 erhält man daraus:

yC1 = ( 1 / 2 ) * 1 ² = 1 / 2  (also denselben Wert, den ich im ersten Teil meiner Antwort für x = 1 berechnet habe)

yC2 = ( 1 / 2 ) * 2 ² = 2 

yC3 = ( 1 / 2 ) * 3 ² = 4,5

Answer 2

A(0|-2) B(p|0) und C(0|q)

Steigung von AB ist 

m1 = (0 - (-2)) / (p - 0) = 2/p

Damit muss die Steigung zwischen B und C Senkrecht dazu sein

m2 = -1/(2/p) = -p/2

Nun stelle ich die Geradengleichung durch B auf mit der Steigung m2

y = -p/2 * (x - p) + 0 = - p/2·x + p^2/2

q ist der Y-Achsenabschnitt und damit p^2/2

[[0, -2], [p, 0], [0, p^2/2]]

[0, -2; 1, 0; 0, 0.5]
[0, -2; 2, 0; 0, 2]
[0, -2; 3, 0; 0, 4.5]

Skizze