Für welche a,b∈G ist die Abbildung f: G → G, f(x)= axb ein Morphismus?

Question

Komme bei dieser Aufgabe leider nicht voran. Mich verwirrt, dass keine Verknüpfung von G gegeben ist.

Es muss allgemein ja gelten
f(a o b) = f(a) o f(b)
wobei o jeweils die gleiche Verknüpfung darstellen sollten, da von G auf G abgebildet wird.

Meine erste Idee war, einfach mal Fallunterscheidungen zu machen, wies denn ausschaut, bei unterschiedlichen Verknüpfungen.
Hab dann mal angefangen mit der einfachen Addition, da gilt nämlich folgendes:
f(x + y) = a(x+y)b = axb + ayb = f(x) + f(y) ✓

danach die einfache Multiplikation:
f(x*y) = a(x*y)b = axyb
f(x) * f(y) = axb * ayb = a²xyb²

und axyb = a²xyb² gilt nur für a, b = 1

Ist das denn ein richtiger Ansatz oder falsch? Bin mir sehr unsicher wegen diesen Verknüpfungen und das Problem ist ja, das G unendlich viele Verknüpfungen haben könnte, da man sich ja einfach welche definieren kann. Solange die Gruppenaxiome erfüllt sind ist G ja eine Gruppe.

Außerdem soll ich Ker f:= f^-1({e}) und Im f:= f(G) berechnen, wo ich natürlich auch keinen Ansatz habe..

Bin soo am verzweifeln, studiere ich überhaupt das richtige, wenn ich so Probleme damit habe?

Answer 1

ist \( G \) kommutativ? In diesem Fall gilt \( axb ayb = a^2xyb^2 \). Dies gilt nicht für nicht-kommutative \( G \).

Für kommutatives \( G \) gilt außerdem \( axb ayb = xy \) für \( a = b^{-1} \), dies schließt den Fall \( a = b = 1 \) ein. Es ist in diesem Fall auch \( a^2 xy b^2 = a xy b = xy \).

Für nicht-kommutatives \( G \) gilt \( a x b a y b = a xy b \) für alle \( a, b \) mit \( a = b^{-1} \).

Mister