Morphismus zwischen symmetrischer Gruppe und (R, +) gesucht

Question

Die Aufgabe ist es, alle Gruppenhomomorphismen zwischen der symmetrischen Gruppe S_n und der Gruppe (ℝ,+) zu finden (wobei n aus den natürlichen Zahlen ist).
Eine solche lineare Abbildung kann ich mir gerade nicht wirklich vorstellen. Hat vielleicht jemand ein Beispiel für einen Morphismus, sodass ich dann vielleicht auch darauf komme, wie viele es gibt bzw. wie sie allgemein aussehen…
Vielen Dank :-)

Answer 1

Sei \(f:S_n\rightarrow \mathbb{R}\) ein Gruppenhomomorphismus,

dann ist \(f(S_n)\) eine endliche Untergruppe der additiven Gruppe \(\mathbb{R}\).

\(\mathbb{R}\) besitzt aber nur eine endliche Untergruppe, nämlich \(\{0\}\),

d.h. \(f=0\) ist der einzige Gruppenhomomorphismus.

Comments

So etwas triviales habe ich fast schon erwartet :) vielen Dank!