Körper der komplexen Zahlen: Multiplikatives Inverses z^{-1} zu z= a + bi?

Question

Bestimmen Sie für \( z=a+b i \neq 0 \) das multiplikativ Inverse \( z^{-1} \) und finden Sie \( v, w \in \mathbb{C} \) so dass \( (1+2 i) v=1-i \) und \( w^{2}-i=0 \) gilt! Geben Sie die Lösungen jeweils in der Form \( a+b i \) an! 

Ich komme bei dieser Aufgabenstellung nicht weiter. Wie genau rechne ich v und w aus und gebe dies in der Form a + bi an?

Answer 1

Wie genau  gebe ich dies in der Form a + bi an?

Nenne das besser x + iy, da a und b ja schon in der Aufgabenstellung gegeben sind.

Wie genau rechne ich z^{-1} aus?

z = a + ib

z^{-1} = 1/(a+ib)

nun machst du den Nenner rational und trennst danach Real und Imaginärteil.

Wie genau rechne ich v aus ? 

Löse die angegeben Gleichung mit einer Division nach v auf und verfahre dann weiter wie bei z^{-1} v =(1-i) / (1+2i)   usw. 

Wie genau rechne ich w aus ? 

w^2 - i = 0

w^2 = i    

w^2 = 1* e^{iπ/2}       

w = √(1) * e^ (iπ/4 + k2πi/2)  , k € Z

w =    e^ (iπ/4 + kπi)  , k € Z

Nun wieder umwandeln in die Darstellung w = x + iy.

w1 = 1/√2 + 1/√2 i

w2 = -1/√2 - 1/√2 i 

usw.

Anmerkung: in der komplexen Ebene sind da nur 2 unterscheidbare Lösungen vorhanden. 

Comments

Ich hatte das für das Inverse:

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Ja genau. Das ist gut. In der Form z^{-1} = x + iy

schreibst du

z^{-1} = a/(a^2 + b^2) + i*(-b)/(a^2 + b^2)