Berechne die Innenwinkel!

Question

Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck mit den Seiten

a = 11 cm

b = 11cm 

c = 5cm

Berechne die Innenwinkel!

Ich habe es versucht mit a/sin Alpha = b/ sin Beta , aber das hilft auch nicht.

Ich habe keine Idee, wie das gehen könnte.

Vielen Dank für das Berechnen.

Gruß Ommel

Answer 1

Zeichne die Höhe vom Schnittpunkt der beiden Schenkel auf die Seite c ein. Diese Höhe teilt das Dreieck in zwei rechtwinklige kongruente Dreiecke.

Comments

Danke Oswald, 

dann sind Alpha und Beta also jeweils 76° und Gamma 28°.   Stimmt das?

Detektiv sollte ich nicht werden, ich hätte ja auch drauf kommen können, 

das Dreieck aufzuteilen, damit ich den rechten Winkel miteinbeziehen kann!!!

Gruß Ommel

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Du hast Alpha und Beta falsch gerundet und dadurch bei Gamma eine Abweichung von fast 2°.

Außerdem hast du Zwischenergebnisse gerundet. Runde keine Zwischenergebnisse. Alpha und Beta sind nicht nur Endergebnisse. Sie sind auch Zwischenergebnisse, wenn du sie dazu verwendest mittels Winkelsumme im Dreieck Gamma zu berechnen. Wenn du Zwischenergebnisse trotzdem rundest, dann auf wesentlich mehr Nachkommastellen als das Endergebnis.

Richtig ist α = β ≈ 76,86344121305514° und γ ≈ 26,27311757388972°. Ich würde  aber auch α = β = acos(5/22), γ = asin(5/22) gelten lassen.

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Danke Oswald, 

das hat mir geholfen. Ich muss also den Kosinuswert   

cos = 0,896694214 ganz genau nehmen,

um dann auf  für γ auf 26,27° zu kommen. 

Gruß Ommel

Answer 2

Wenn drei Seitenlängen gegeben sind, hilft der Kosinussatz: c²=a²+b²-2abcosγ.  Aber noch einfacher ist hier (weil das Dreieck gleichschenklig ist), die Höhe h auf zu zeichnen (sie halbiert ja c) und die Definition des cos zu verwenden: cosα=c/(2b) also cosα=2,5/11. Der Winkel β ist genau so groß, wie α und γ=180-α-β. 

Comments

Danke Roland,

mit dem Kosinussatz komme ich auf kein Ergebnis. Was mache ich da falsch?

5² = 11² + 11² - 2* 11*11*cosγ  

25 = 242 - 242* cosγ

217 = 242*cosγ

217 / 242  = cosγ

cosγ = 0,9

γ = 25,8°

Danke für das Nachrechnen und das Weiterhelfen.

Gruß Ommel

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Du hast ein Minuszeichen vergessen, und zwar hier 217 = 242*cosγ.

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25 = 242 - 242* cosγ

- 217 = - 242*cosγ        ich habe hier      * (-1) genommen, weil doch alle Werte Minuswerte sind - geht das nicht?

217 / 242  = cosγ

cosγ = 0,9        wenn ich hier    cosγ = 0,896694214   nehme, komme ich immerhin auf ...

γ = 26,27°     und das ist wohl richtiger.

Dann muss man die Zahl wohl seeeeehr genau nehmen.

Danke fürs Anleiten und Durchhalten!

Gruß Ommel

 

Answer 3

Salut Ommel,

a = b = 11cm

c = 5cm

Nach Pythagoras gilt:

a² = ( c/2) + hc²

hc = √(a² - (c/2)²)

hc = √(11² - 2,5²)

hc = 10,712cm

Für den Winkel α gilt:

sin (alpha) = hc / b

alpha = arcsin (hc / b) = arcsin (10,712 / 11) = 76,86°

Im gleichschenkligen Dreieck gilt, dass alpha = beta.

Somit erhältst du für beta ebenfalls einen Winkel von 76,86°.

Für gamma ergibt sich daraus: 180° - 76,86° - 76,86° = 26,28°

:).

Comments

Das ist eine sehr gut nachvollziehbare Lösung.

Dankeschön für die Mühe.

 Gruß Ommel