Den Induktionsanfang lasse ich hier mal weg. Das sollte kein Problem sein.
Bevor wir aber zum Induktionsschritt kommen, halte ich es für angebracht, den Term von \(a_n\) durch Erweitern der Brüche mit \( 2 \pm \sqrt{7}\) etwas umzuwandeln. $$a_n=(2+\sqrt{7})^{n-2}\left( \frac{3}{2}-\frac{3}{2-\sqrt{7}}\right) + (2-\sqrt{7})^{n-2}\left( \frac{3}{2+\sqrt{7}} - \frac{3}{2} \right)$$ $$=(2+\sqrt{7})^{n-2} \left( \frac{7}{2}+\sqrt{7} \right) + (2-\sqrt{7})^{n-2} \left( \sqrt{7} - \frac{7}{2} \right)$$
Anschließend in den rekursiven Term einsetzen $$ 3a_{n-1} + 4a_{n} $$ $$ = 3(2+\sqrt{7})^{n-3} \left( \frac{7}{2}+\sqrt{7} \right) +3 (2-\sqrt{7})^{n-3} \left( \sqrt{7} - \frac{7}{2} \right) \\ + 4(2+\sqrt{7})^{n-2} \left( \frac{7}{2}+\sqrt{7} \right) + 4(2-\sqrt{7})^{n-2} \left( \sqrt{7} - \frac{7}{2} \right)$$ $$ = (2+\sqrt{7})^{n-3}\left( \frac{7}{2}+\sqrt{7} \right)\left( 11+4\sqrt{7} \right) + (2-\sqrt{7})^{n-3} \left( \sqrt{7} - \frac{7}{2} \right)\left(11-4\sqrt{7} \right)$$
Der Ausdruck \(11\pm 4\sqrt{7}\) ist $$ 11 \pm 4\sqrt{7} = \left(2 \pm \sqrt{7} \right)^2$$ Also ist $$ 3a_{n-1} + 4a_{n}= (2+\sqrt{7})^{n-1} \left( \frac{7}{2}+\sqrt{7} \right) + (2-\sqrt{7})^{n-1} \left( \sqrt{7} - \frac{7}{2} \right)=a_{n+1}$$
Gruß Werner
