Doppeltlogarithmisch. Wie lautet die funktionale Abhängigkeit y=f(x), wenn f(20)=100 und f(60)=1000

Question

Wie lautet die funktionale Abhängigkeit y = f (x) , wenn bekannt ist, dass f (20) = 100 und

f (60) = 1000 ist und dass der Graph der Funktion f

(a) bei einer doppeltlogarithmischen Auftragung eine Gerade zeigt?

(b) bei einer halblogarithmischen Auftragung (y-Achse logarithmisch, x-Achse linear) eine

Gerade zeigt?

Answer 1

Liegt bei doppelt logarithmischer Auftragung eine Gerade vor, so gilt $$\log{y}=m \cdot \log{x}+b$$ Das kann man umformen $$\log{y}-\log{x^m}=b$$ $$ \log{\left( \frac{y}{x^m}\right)}=b $$ $$ \frac{y}{x^m}=10^b$$wenn ich es zur Basis 10 betrachte. Und $$y=10^b \cdot x^m$$Hier gilt \(m=\frac{1}{\log_{10}{3}} \approx 2,0959\) und \( b=\log_{10}{ \left( \frac{100}{20^{\frac{1}{\log_{10}3}}} \right) } \approx -0,72683\)

Bei der halblogarithmischen Auftragung gilt entsprechend $$\log{y}=m \cdot x+b$$Umwandeln ergibt $$ y=10^b\cdot 10^{mx} $$Hier ist \(m=1/40\) und \(b= \log_{10}100-(1/40)\cdot 20=3/2\) also etwa $$y=31,6228\cdot 1,05925^x$$