funktion bijektiv machen umkehrfunktion

Question

ich hab zu der b eine Frage:

Wie beziehungsweise was muss ich machen?

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ich hab zu der b eine Frage:

Wie beziehungsweise was muss ich machen?

Answer 1

f: ℝ₀⁺  →   ℝ₀⁺  ;  f(x) = x / (1+x)

a)

Die Funktion ist stetig  mit  f '(x) = 1 / (x+1)²  > 0

           →  f ist streng monoton steigend, insbesondere also injektiv.

b)

f(0) = 0  und lim_x→∞ f(x) = 1  und  f streng monoton steigend  →  Wertebereich   I = [0; 1[

f ^-1 : [0; 1[  →   ℝ₀⁺ ;  f ^-1(x) =  x / (1- x)

denn:

y = x / (x+1)  | * (x+1)

y * (x+1) = x

yx + y = x

x - yx = y

x * (1 - y) = y  | : (1-y) ≠ 0

x = y / (1-y)

Variablen vertauschen:

y = x / (1- x)

Gruß Wolfgang