injektivität der lineare operator

Question

Seien X, Y Banachräume und T : X → Y eine linearer Operator mit der Eigenschaft dass eine Konstante a > 0 existiert für die gilt 

a || x || < = || Tx||  für alle x ∈ X

und S eine inverse Operator von T ist mit || S || < 1/ a und S stetig

a) zeigen Sie dass T injektiv ist

b)  Zeigen Sie dass T(X) ausgestattet mit der Norm von Y ein Banachraum ist

kann mir jemand bei diese Aufgabe bitte helfen ??

danke schon im Voraus

Answer 1

$$ \text{Linearer Operator T ist injektiv, wenn Kern(T)={0}}\\Tx=0\\0=||Tx||>=a||x||\\\to x=0 $$

Comments

danke... :)

und wie mache ich Teil b ??

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Bei b) musst du zeigen, dass der Raum (T(X),||.||) vollständig und normiert ist.

Die Normierung ist bereits vorgegeben.

Fehlt bloß noch zu zeigen, dass jede Cauchyfolge φ_n := T(Φ_n) ∈ T(X) konvergiert.

Da T stetig ist folgt, dass Φ_n eine Cauchyfolge ist und wegen der Vollständigkeit von X auch konvergiert. Und daher konvergiert auch  φ_n .