Monotonieverhalten untersuchen

Question

Hallo

Ich soll diese Gleichung auf Monotonie untersuchen

(4x)/(x^2-4)

Ich habe also die Ableitung hiervon gebildet und komme auf

(-4x^2-16)/(x^2-4)^2

das würde ich dann null setzen aber dann müsste ich die Wurzel aus -4 ziehen und das geht ja nicht.

Was habe ich falsch gemacht?

LG

amy2 :)

Comments

(-4x²-16)/(x²-4)² = 0

oder

- 4 * (x²+16) / (x²-4)² = 0

Eine einfache Überlegung ist auch

Ein Bruch ist dann 0 wenn der Zähler 0 ist

( x²+16 ) = 0

Eine Quadratzahl ist immer positiv bzw. 0.
Der Zähler kann also niemals 0 werden.

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(4x)/(x²-4)
D = R \ { 2 }  ( Division durch 0 )

- 4 * (x²+16) / (x²-4)² 

Der Zähler ist stets positiv. Der Nenner ist im Def-Bereich auch stets positiv.
Z / N ist auch stets positiv.
Mal -4 ist stets negativ.
Die Funktion ist stetig fallend.

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(4x)/(x²-4)
D = R \ { 2 }  ( Division durch 0 )

kleine Korrektur

D = R \ { -2 ; +2 }  ( Division durch 0 )

Answer 1

(4x)/(x^2-4) ist keine Gleichung, sondern ein Term.

Du sollst auf Monotonie untersuchen, also wann die Ableitung größer oder kleiner 0 wird.

Falsch hast du nichts gemacht :).

Du hast damit gezeigt, dass die Ableitung niemals 0 wird.

Betrachte jetzt also noch die Fälle

(-4x^2-16)/(x^2-4)^2 > 0

und (-4x^2-16)/(x^2-4)^2 < 0

Tipp: Überlege dir, welches Vorzeichen Zähler und Nenner haben können und folgere daraus, welches Vorzeichen der Gesamtbruch hat.

Comments

Danke erstmal :)

Ich verstehe jetzt aber nicht gannz wie ich auf

(- unendlich, -2) , ( -2, +2) und (+2, + unendlich) = monoton fallend komme.

-4x^2-16 > 0     +16

-4x^2 > 16    :(-4)

x^2 < -4

und dann?

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Ich greife kurz einmal vor

-4x²-16 > 0    heißt steigend

x² < -4 keine Lösung

Die Funktion ist nicht steigend.

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wie wie Georg bereits erwähnt hat ist die Funktion nirgends monoton wachsend, sondern überall monoton fallend.

Dann musst du noch beachten, dass x=+2 und x=-2 nicht im Definitionsbereich liegen.

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Ein wenig genauer geht es schon:

Die Funktion ist in jedem der drei Intervalle

(−∞, −2) , ( −2, +2) und (+2, +∞)

streng monoton fallend.

Über ihrem möglichen Definitionsbereich ℝ \ { −2, +2 } ist sie nicht monoton.