ker(T), im(T), rg(T), def(T) bestimmen

Question

Bestimme ker(T), im(T), rg(T) und def(T)!    T : V → V, T(f) = f' mit V = { f : ℝ → ℝ, f Polynom vom Grad ≤ n } und f' ist die Ableitung von f.   f(x) = a_nxⁿ + a^n-1x_n-1 + ... + a₁x + a₀f'(x) = na_nx^n-1 + ... a₁      für x ∈ ℝker(T) := { x∈V | T(x) = 0 }im(T) := T(V)rg(T) := dim(imT)  def(T) := dim(kerT)    Ich habe mehrere zu dieser Aufgabe äquivalente Aufgaben zu lösen. Wenn mir bitte jemand erklären und zeigen kann, wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen muss, kann ich die anderen Aufgaben selber lösen.  Danke an alle im voraus!

Comments

Hinweis: Wenn die anderen Aufgaben zu dieser Aufgabe äquivalent sind, so brauchst du nur eine zu lösen um alle zu lösen.

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Ich habe das eigentlich so gemeint, dass es bei dieser Aufgabe Unterpunkte gibt, wie (i), (ii), etc.Und wie kann ich die Aufgabe nun lösen, die ich hier gestellt habe?

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Gut, du musst im Wesentlichen nur die gegebenen Definitionen anwenden. Der Kern deiner Abbildung wären in diesem Fall alle Polynome mit Grad kleiner n, die durch ableiten auf das Nullpolynom abgebildet werden.

Answer 1

ker(T) := { x∈V | T(x) = 0 }

In deinem Fall sind die x'e ja die Polynome.  Also schreibe ich mal lieber f.

Und T(f) = 0 heißt:    f ' ist das Nullpolynom.

Dann muss f ein konstantes Polynom sein und du hast

Kern(T) = { f ∈ V |   Es gibt ein c aus IR mit  f = c }und eine Basis dafür ist z.B. das konstante Pol.  1.

Damit ist der Kern 1-dimensional also def(T)=1Und wegen dim (V) = n +1  ist  rg(T) = n und

im(T) = Menge aller Polynome, die als Ableitung von

             Polynomen vom Grad höchstens n entstehen können,

Das sind alle vom Grad höchstens n-1.

also im(T)  =  { f : ℝ → ℝ, f Polynom vom Grad ≤ n-1 }