Komplexe Zahlen z bestimmen mit z^2+(1−3i)z+i−8=0 möglichst vereinfacht in der Gestalt x + iy mit x, y ∈ R

Question

Bestimmen Sie folgende komplexe Zahlen möglichst vereinfacht in der Gestalt x + iy mit x, y ∈ R

alle Lösungen z ∈ C der Gleichung z^2+(1−3i)z+i−8=0. 

Comments

Müsste die Lösung nicht  z=2+i oder z=-3+2i

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Ja, das sind die Lösungen

vgl. meine Antwort

Answer 1

Hallo MN,

z² + (1−3i) z + i − 8 = 0.  

z² + pz + q = 0

pq-Formel:  p = 1-3i  ; q = i-8

z_1,2 = - p/2 ± \(\sqrt{(p/2)^2 - q}\)

z_1,2 = (3i-1)/2 ± √( (3i-1)/2)² + 8 - i ) =  (3i-1)/2 ± √( 6 - 5·i/2 )    # vgl. unten    

         = 3i/2 - 1/2 ±  (5/2 - i/2)

z₁ =  3i/2 - 1/2  +  5/2 - i/2  = 2 + i

z₂ =  3i/2 - 1/2  -  5/2 + i/2  =  - 3 + 2 i

#

Berechnung der komplexen Wurzel:

z = x + y·i  

Für den Betrag r und den Winkel φ hat man

r = √( x² + y²)    ;  φ =  arccos(x/r) wenn y≥0     [  - arccos(x/r) wenn y<0 ]

Die 2 Werte (!)   für √( x + y·i )       [ in der Form  z = u + v · i ]

z_1,2  =  ± √r · [ cos(φ) + i · sin (φ) ]

Gruß Wolfgang