Komplexe Zahlen in der Form x + iy mit x, y ∈ R

Question

bräuchte bei folgender Aufgabenstellung Hilfe:

>>

Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form z = x+iy mit x, y ∈ R dar.

a) $$ (1+i)^4 $$

b) $$ \frac { 1 }{ (3-i)^2 } $$

c) $$ \frac { 2+3i }{ 1-2i } +\frac { i }{ 3+i } $$

d) $$ i^k, k ∈ Z $$ <<

Hier meine Lösungen:

Für a): $$ z = 161 + 240i $$

Für b): $$ z = { (8-6i) }^{ -1 } $$

Für c): $$ z = \frac { 5 }{ 5-5i } + \frac { 12i }{ 5-5i } $$

Für d) bin ich allerdings komplett planlos.

Wäre super, wenn mir jemand bei diesem Abschnitt helfen könnte. Bei Gelegenheit wäre ich auch über eine Kontrolle/Korrektur meiner Ergebnisse für a), b) und c) sehr dankbar.

Vielen Dank,

VerzweifelterChaot

Answer 1

um zu potenzieren, muss zuallererst in die Polarform umgewandelt werden!

$$ 1+i = \sqrt2 \cdot e^{i\frac\pi 4}$$

$$ (1+i)^4 = (\sqrt2 \cdot e^{i\frac\pi 4})^4=   (\sqrt2)^4 \cdot (e^{i\frac\pi 4})^4 = 4 \cdot e^{i\pi }$$

und nun wieder die Polarform in cartesische zurückwandeln - überlasse ich DIR!

Comments

Ich war wohl etwas zu voreilig. :)

Danke für den Hinweis!

Bei Anwendung der Polarform erhalte ich für

a) z=-4

Bin ich auf dem richtigen Weg?

Grüße

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Hier muss man nichts umwandeln, es geht ohne dies sogar schneller:

$$ \left(1+i\right)^4 = \left(\left(1+i\right)^2\right)^2 = \left(2i\right)^2 = -4. $$

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Der Fragesteller scheint die grundsätzliche Vorgehensweise nicht zu kennen. Daher auch die Erläuterung der Regel.

Vereinfachende Abkürzungen sind Spezialfälle.

Wer etwas Übung hat, braucht überhaupt keine Zwischenschritte, sondern sieht sofort das Resultat.

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Der Verzweifelte Chaot möge nun die nächtse Teilaufgabe nach der Regelvorgehensweise vorrechnen,um zu zeigen, wie er die Erklärung umgesetzt hat.

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a) z=-4

b) z=(8-6i)^-1

c) z=-0.7+1.7i

Meine Frage bezüglich d) ist aber immer noch nicht geklärt :/

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b) ist nicht das gesuchte Ergebnis lt. Aufgabe.

Es muss in der Form z= a+ib dargestellt sein ohne Klammer drum hoch irgendwas.

Vielleicht mal MIT deinem Weg, den du zur Berechnung beschreitest, um gucken zu können, was Du eigentlich würfelst.

und wenn wir das haben, gehts an c) ....

.... und dann ist d) ein Klacks, weil Du es bis dahin kapiert haben solltest, wie das Prinzip funktioniert.

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Ich verstehe leider nicht ganz wie man bei b) auf z=(8-6i)^-1 kommt ..

Wird erstmal der Bruch erweitert oder wie geht man da vor ?

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Keine Ahnung, wie man darauf kommt ...

... aber das hier wäre ein möglicher Lösungsweg:

$$\frac  1{(3−i)^2}$$
$$\left(\frac  1{3−i}\right)^2$$
$$\left(\frac {3+i}{(3−i)(3+i)}\right)^2$$
$$\left(\frac {3+i}{9+1}\right)^2$$
$$\left(\frac {3+i}{10}\right)^2$$
$$\frac {\left(3+i\right)^2}{100}$$
$$\frac {9+6\, i\,-1}{100}$$
$$\frac {8+6\, i\,}{100}$$
$$0,08+0,06\, i\,$$