Untervektorraum von R^2 prüfen Bsp. U_(1):={ (1-t, 3+t) € R^2 : t€R }

Question

Kann mir einer sagen, ob es sich bei den folgenden Mengen um Untervektorräume von R^2 handelt? Hab zwar alles gerechnet, bin mir aber unsicher und würde das gerne vergleichen.

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Kann mir jemand den Schritt von (iii) zeigen, wie genau man das begründen kann?

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Wie lauten denn die UVR-Eigenschaften? Oder die VR-Eigenschaften?

Suche die in deinen Unterlagen und überprüfe sie.

Answer 1

(i) keiner
(ii) ist einer
(iii) auch einer
(iv) keiner

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Warum ist 1) keiner?

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für t=0 hast du  ( 1;3) und für t=1 (0 ; 4 )

aber die Summe  ( 1 ;7) ist nicht drin.

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Wie kann ich (iii) zeigen?

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warum ist denn die (iv) keiner? Leer ist die Menge nicht und Abgeschlossenheit sollte doch auch gegeben sein oder?

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Für t=1

4
1

Für t=2

32
4

aber die Summe der beiden ist

36
5

Dann müsste 4t^3 = 36  und t^2=5 sein.

Das klappt für das gleiche t aber nicht,

also nicht abgeschlossen bzgl. +

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Ahja, vielen Dank!! Wenn man jetzt zum Beispiel sowas hat von der Form, dass ein Tupel aus dem R^2 folgende Form hat: (x + y, y^4) dann ist das ein Untervektorraum oder? Da man ja auch bei der Addition mit zwei solchen Tupeln das Ergebnis so darstellen kann`

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Da man ja auch bei der Addition mit zwei solchen Tupeln das Ergebnis so darstellen kann`

Das wirst wohl noch genauer begründen müssen und es muss ja auch

mit k* (x + y, y^4) klappen, und das wird bei negativem k wohl schwierig.

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Okay, ich formuliere das mal richtig aus: Es geht um folgendes Gedankenspiel W = {(x + y, y^3) ∈ R^2 | x, y ∈ R}

UV1 Die Menge ist nicht leer, logisch.

UV2 Seien s = (x + y, y^3) und t = (u + v, v^3) ∈ W.

Dann gilt s + t = ( (x+y) + (u+v), y^3 + v^3) und hier wäre schon ein Problem oder? Da wir ja y^3 + v^3 nicht als irgendwas hoch 3 schreiben können?

UV3 Hier meintest du würde es ein Problem mit negativem k geben.

(-k * (x+y), - k * y^3) = (- (kx + ky), -(ky^3)) -> Somit wäre das doch kein Problem oder? Da man im Grunde wieder die Form x + y und y^3 hat.

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Dann gilt s + t = ( (x+y) + (u+v), y3 + v3) und hier wäre schon ein Problem oder? Da wir ja y3 + v3 nicht als irgendwas hoch 3 schreiben können?

Wieso nicht das wäre dann a^3 mit a = 3.Wurzel aus ( y3 + v3).

und wenn du dann b =  ((x+y) + (u+v)) - a  nimmst, dann klappt es

mit ( a+b , a^3 ).