Wie lautet der Achsenabschnitt? Normalgleichung für empirische Messungen

Question

Weiß hier jeman weiter. Wie manchmal in letzter Zeit hab ich hier wohl einen falschen Ansatz und nur noh einen Versuch.
Würde mich tierisch über Hilfe freuen.

Gegeben sind folgende empirische Messungen:

xi 7	9.7	11	13.5
zi 20.03	22.09.	22.28	24.3

Grafisch liegen diese Punkte folgendermaßen im Koordinatensystem:

Die Beobachtungen liegen ungefähr auf einer linearen Funktion z = a₀ + a₁x und sind mit leichten Fehlern behaftet. Ermitteln Sie die Parameter dieser linearen Funktion durch Verwendung der Normalgleichungen.

Wie lautet der Achsenabschnitt?

 

Comments

Könnte mir eventuell wer bei folgende Aufgabe helfen ? :)

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Schau mal unten.

Da ist deine Aufgabe bereits gelöst worden.

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Vom Duplikat:

Titel: Empirische Messungen Achsenabschnitt

Stichworte: achsenschnittpunkte,funktion,koordinatensystem

Gegeben sind folgende empirische Messungen:

xi	3.9	5.5	7.3	9
zi	21.43	22.18	22.11	23.1

Grafisch liegen diese Punkte folgendermaßen im Koordinatensystem: 

Die Beobachtungen liegen ungefähr auf einer linearen Funktion z= a0 + a1 x und sind mit leichten Fehlern behaftet. Ermitteln Sie die Parameter dieser linearen Funktion durch Verwendung der Normalgleichungen. Wie lautet der Achsenabschnitt?

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... schon vier mal dieselbe Frage heute morgen. (s.: https://www.mathelounge.de/403684/lautet-achsenabschnitt-normalgleic…)

Dein Achsenabschnitt ist $\approx 20,36$

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Vom Duplikat:

Titel: Empirische Daten. Wie lautet die Steigung? kann mir bitte jemand bei folgender aufgabe helfen?

Stichworte: empirische,steigung,wirtschaftsmathe,parameter

EDIT: Ursprüngliche Überschrift: kann mir bitte jemand bei folgender aufgabe helfen?

Wie lautet die Steigung?

Danke,

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Bitte Schreibregeln beachten: https://www.mathelounge.de/schreibregeln

Aussagekräftige Überschriften etc. "Kann mir jemand helfen" ist keine geeignete Überschrift.

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Vielleicht hilft dir das weiter.

https://www.mathelounge.de/496334/wie-lautet-der-achsenabschnitt-emp…

Answer 1

Hallo 2xmathe,

Die Koeffizienten m und n der  Regressionsgeraden  z = m * x + n   erhält man aus:

 $\begin{pmatrix} 1&1&1&1\\ x_1&x_2&x_3&x_4\end{pmatrix}$ * $\begin{pmatrix} 1&x_1\\ 1&x_2\\ 1&x_3\\1&x_4\end{pmatrix}$ * $\begin{pmatrix} n \\ m \end{pmatrix}$

                                              =   $\begin{pmatrix} 1&1&1&1\\ x_1&x_2&x_3&x_4\end{pmatrix}$  *  $\begin{pmatrix} z_1\\ z_2\\ z_3\\z_4\end{pmatrix}$

x_i und z_i  einsetzen, Matrixmultiplikationen ausführen  und dann  das LGS  lösen.

 A * $\begin{pmatrix} n \\ m \end{pmatrix}$  =  B  

Kontrollergebnis:      m  ≈  0,46890  ;   n  ≈ 15,79954

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Berechnen kannst du die Regressionsgerade auch mit einem Online-Rechner:

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/regr.htm

Nachtrag:

Eingabe in Rechner:  

Wertepaare       x_i  und  z_i  durch ein Leerzeichen getrennt

x₁    z₁

...

x₄    z₄

Bei Terme musst du unten "Gerade" anklicken

Dann "Regression" anklicken.

Im rechten Feld erscheint dann alles, was man wissen will.

Gruß Wolfgang

Comments

Oder man erstellt ein xy-Diagramm (Tabellenkalkulation ) mit den Daten und legt eine Trendgerade durch.

Es geht den Herrschaften ja nur darum die Antwort einzutippen? Wird da nur das Ergebnis kontrolliert?

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Hallo Wolfgang!

Kannst du mir sagen wie ich das in diesen Online Rechner eingebe?

Brauche die Punkte für meinen Online-Test und versteh das komplette System nicht.

Ich hab die Werte:

x= 7,6 9,8 11,4 14

z= 10,37 12,15 12,53 14,63

Bin bis jetzt auf die Werte gekommen

A^T*A = 4    42,8

              42,8  ?

und

A^T*Z  =  49,68

                ?

Wäre sehr froh wenn du mir weiter helfen könntest, ich benötige den Achsenabschnitt?

Danke

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Der Rechner liefert für deine Werte  die Regressionsgerade

f(x) = 0,640734 * x + 5,564147   Achsenabschnitt

Eingabe in Rechner:  

Wertepaare       x_i  und  z _i  durch ein Leerzeichen getrennt

7,6    10,37

 9,8    12,15

11,4   12,53

14     14,63

Bei Terme musst du unten "Gerade" anklicken

Dann "Regression" anklicken.

Im rechten Feld erscheint dann alles, was man wissen will.

Habe das in meiner Antwort nachgetragen.

Answer 2

die Koeffizienten m und n der  Regressionsgeraden  z = m * x + n   erhält man aus:

 $\begin{pmatrix} 1&1&1&1\\ x_1&x_2&x_3&x_4\end{pmatrix}$ * $\begin{pmatrix} 1&x_1\\ 1&x_2\\ 1&x_3\\1&x_4\\\end{pmatrix}$ * $\begin{pmatrix} n \\ m \end{pmatrix}$  

                                              =    $\begin{pmatrix} 1&1&1&1\\ x_1&x_2&x_3&x_4\end{pmatrix}$  *  $\begin{pmatrix} z_1\\ z_2\\ z_3\\z_4\\\end{pmatrix}$

x_i und z_i  einsetzen, rote und blaue Matrixmultiplikationen ausführen  und dann  das LGS  lösen.

A * $\begin{pmatrix} n \\ m \end{pmatrix}$  =  B  

 Kontrollergebnis:  z = 1,859526 * x   ;   also a₀ = 0  und a₁ ≈ 1,86

 -----------------------------------------------------------------------

Berechnen kannst du die Regressionsgerade auch mit einem Online-Rechner:

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/regr.htm

 Eingabe in den Rechner:  

Wertepaare       x_i  und  z_i  durch ein Leerzeichen getrennt

x₁    z₁

...

x₄    z₄

Bei Terme musst du unten "Gerade" anklicken

Dann "Regression" anklicken.

Im rechten Feld erscheint dann alles, was man wissen will.

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo Wolfgang,

ich sehe gerade, dass ich die Frage geschlossen / umgeleitet habe, während du die Antwort geschrieben hast. Schreibe vielleicht noch dazu, dass diese Antwort zur Frage des Dolomintenkönigs gehört, speziell falls du noch Zahlen einsetzen möchtest.

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Da der FS einen Pluspunkt gegeben hat, hat er die Antwort zur Kenntnis genommen. Und darauf kommt es ja schließlich vor allem an :-)

Answer 3

die Frage wurde hier schon öfters gestellt, aber unter anderen Accounts .. da will ich es mal versuchen:

Die Normalengleichungen sind hier $$A^T\cdot A \cdot \alpha = A^T\cdot z$$ Wobei z der Vektor mit den Z-Werten ist und $\alpha$ der 2-dimensionale Vektor mit dem Achsenabschnitt und der Steigung der Regressionsgeraden. Die Matrix A ist ist eine 4x2-Matrix, deren erste Spalte aus 1'en besteht (der konstante Anteil) und die zweite Spalte aus den X-Werten der Messung (linearer Anteil). Dann ergibt sich folgendes Bild:

Der Achsenabschnitt ist also ca. 15,61. Und die Steigung wäre ca. 0,637. Wenn man das ganze graphisch darstellt, so sieht es so aus:

Details findest Du im Wiki bei der Methode der kleinsten Quadrate.

Gruß Werner

Comments

Hallo Werner,

ich habe die gleiche Aufgabe nur mit anderen Zahlen, hast du diese Rechnung mit Hilfe von Excel gelöst? Kannst du mir vielleicht bei meiner Aufgabe auch behilflich sein?

Gegeben sind folgende empirische Messungen:

xi: 10,1; 12,7; 14,7; 16,6
zi: 16,3; 17,2; 19;22; 19,5

Die Beobachtungen liegen ungefähr auf einer linearen Funktion z= a0 + a1 x und sind mit leichten Fehlern behaftet. Ermitteln Sie die Parameter dieser linearen Funktion durch Verwendung der Normalgleichungen.

Wie lautet der Achsenabschnitt? 

Ich wäre dir sehr dankbar. 

Mfg Jeff

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Hallo Jeff,

ja mit Excel ist es ganz leicht: Achsenabschnitt ca, 10,77

Gruß Werner

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Hallo Werner,

Könntest du mir vielleicht diese aufgabe lösen? Bekomme nie das richtige ergebnis raus..

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Wäre cool wenn du mir das mit exel kurz lösen könntest!

Somit wäre x: 3,9 ; 5,4 ; 7,4 ; 9,3

                   z: 17,01 ; 18,17 ; 18,72; 20,14

Dankeschön im Voraus

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Hallo Simone,

Du bist ja echt hartnäckig ;-). habt Ihr kein Excel oder ein anderes Tabellenkalkulationsprogramm. Auch mit dem Taschenrechner wäre das doch kein Problem ...

Achsenabschnitt ist ca. 14,98

Gruß Werner

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Und wie kann man des machen ?

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Wie komm ich auf die Beträge 185,62 und 490,287?

Danke

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@booyah97:  "wie haben sie das Alpha zum schluss berechnet?" der Vektor  $\alpha$ - also die Werte für Achsenabschnitt und Steigung - ist die Lösung des Linearen Gleichungssystem

$$(A^T \cdot A) \cdot \alpha = A^T \cdot z$$

siehe auch die Kommentare oben und die Antwort von Wolfgang unten. $A$ und  $z$ sind bekannt.

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wenn ich aber nach alpha auflösen möchte so lautet die gleichung:
alpha= A^T*z / (A^T*A)
aber eine Matrix darf man ja nicht durch eine andere Matrix teilen?

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@booyah97: ".. aber eine Matrix darf man ja nicht durch eine andere Matrix teilen?"

Warum nicht? Man kann aber auf beiden Seiten mit der Inversen Matrix multiplizieren. In diesem Fall ist das

$$(A^T \cdot A)^{-1} \approx \begin{pmatrix} 5,0767 & -0,46861\\-0,46861 & 0,045496 \end{pmatrix}$$

Multipliziere beide Seiten (von links!) mit der Inversen, so wird aus

$$(A^T \cdot A ) \cdot \alpha = A^T \cdot z$$

$$(A^T \cdot A)^{-1} \cdot (A^T \cdot A ) \cdot \alpha = (A^T \cdot A)^{-1} \cdot (A^T \cdot z)$$

und rechts fällt das Produkt aus einer Matrix und ihrer Inversen weg, da dies die Einheitsmatrix ist! Es bleibt:

$$\alpha = (A^T \cdot A)^{-1} \cdot (A^T \cdot z)$$

$$\alpha \approx \begin{pmatrix} 5,0767 & -0,46861\\-0,46861 & 0,045496 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 88,7 \\ 927,613\end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 15,61 \\ 0,6371\end{pmatrix}$$

... rechne es nach!

Gruß Werner

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Achsooo oke vielen danke für die Hilfe

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Hallo Werner! Bei meiner Aufgabe ist die Steigung gesucht und ich wollte Sie fragen, ob dies dann in meinem Fall die 0,75 sind?

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Ja - das ist richtig. Du kannst das aber auch selber überprüfen. Siehe WolframAlpha:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=linear+regression+%7B%7B9,+14.…

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Guten Nachmittag. Ich bin den Beispielen gefolgt, die oben in den Komentaren vorgekommen sind, jedoch bei Eingabe meiner Lösung hat es sich als falsch herausgestellt.

Meine Aufgabe war es den Achsenabschnitt zu berechnen, und zwar bei folgenden empirischen Messungen:

Xi = 11 , 13 , 14.8 , 16

Zi = 24.96 , 26.95 , 26.91 , 28.67

Die lineare funktion lautet: z=a0 + a1x

Meine Lösung war für den Achsenabschnitt 17,581 => aber leider falsch

HILFE!!!

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ich denke, es ist nur ein Rundungsfehler. Die Inverse $(A^T \cdot A)^{-1}$ ist

$$(A^T \cdot A)^{-1}= \begin{pmatrix}13.39355742& -0.959383754\\ -0.959383754& 0.070028011\end{pmatrix}$$ in der Nebendiagonale hast Du auf zwei Stellen gerundet und dann auch noch falsch. -0,96 wäre richtig gewesen.

Ich bekomme $a_0= 17.96462185$ und $a_1=0.650210084$.

Beim Runden kommt es ncht auf die Anzahl der Nachkommastellen an, sondern auf die Anzahl der gültigen Stellen. Bei -0,96 wären das zwei. Bei 17,581 sind es 5 Stellen. Wenn das Ergebnis über eine Multiplikation aus der Vorgabe (der -0,96) entsteht können aber höchstens die ersten 2 Stellen, also die 1 und die 7 korrekt sein.

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Der Internet Rechner Bruenner meint

f(x) = 0,65021 * x + 17,964622

Du kannst die 4 Punkte und die
Gerade ja einmal zeichnen
ob es stimmen könnte.

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Kommentar hat sich erledigt

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Du meinst Excel ...

:-)

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... sagt der Internet-Rechner: f(x) = 0,637079 * x + 15,613085  genau wie mein Excel-Programm.

Komisch!? - wie lautet Dein Produkt $A^T \cdot A$ ?

Wolfgang - das ist der Plot Deiner Daten - ich behaupte mal, dass das nicht passt:

Plotlux öffnen

P(11|24,96)P(13|26,95)P(14,8|26,91)P(16|28,67)Zoom: x(-1…18) y(10…30)f₁(x) = 0,637079·x+15,613085

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Hallo Werner,

in diesem zusammen gewürfelten Chat gibt es eine Menge verschiedener Tabellen. Mein Kommentar (inzwischen gelöscht) bezog sich auf die Aufgabenstellung ganz oben und hat sich deshalb erledigt :-)

Gruß Wolfgang

@GrosserLoewe

Du meinst Excel ...
:-)

Das hast du klar erkannt!

Tippfehler können Dir natürlich selten passieren :-)

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Wenn ich es so wie oben in den arndt bruenner Rechner eingebe bekomme ich 11,47 raus, das ist aber leider falsch :( hab nur mehr einen versuch, könnte das für mich bitte jemand eingeben?

das wär meine Angabe:

Gegeben sind folgende empirische Messungen:

xi 6.8 9.0 11.0 12.1
zi 16.76 18.03 20.03 20.62
Grafisch liegen diese Punkte folgendermaßen im Koordinatensystem:


Die Beobachtungen liegen ungefähr auf einer linearen Funktion z=a0+a1x und sind mit leichten Fehlern behaftet. Ermitteln Sie die Parameter dieser linearen Funktion durch Verwendung der Normalgleichungen.

Wie lautet der Achsenabschnitt?

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Ich habe Bruenner einmal angeworfen
Regressionsgerade
f(x) = 0,759505 * x + 11,473819

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eben das hab ich auf so eingegeben aber es ist leider falsch :(

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Unter Terme mußt du " Gerade " auswählen

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xi    6.8       9.0      11.0     12.1
zi 16.76   18.03   20.03    20.62

Die Regressionsgerade ist richtig.

Hast du deine Eingaben vorschriftsgemäß gerundet?

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hab die Lösung jetzt danke :) es war ein systemfehler bei dem die determinante gerundet war :) bei einigen war es so richtig und bei einigen nicht