Gegeben sind folgende empirische Messungen: Wie lautet der Achsenabschnitt?

Question

Gegeben sind folgende empirische Messungen:
xi
  2.1
  4.9
  7
  8.1
zi
  15.52
  16.55
  18.47
  18.52

Grafisch liegen diese Punkte folgendermaßen im Koordinatensystem:

image

Die Beobachtungen liegen ungefähr auf einer linearen Funktion z=a0+a1x

und sind mit leichten Fehlern behaftet. Ermitteln Sie die Parameter dieser linearen Funktion durch Verwendung der Normalgleichungen.

Wie lautet der Achsenabschnitt?

Answer 1

Hallo,

Die Koeffizienten a₀ und a₁ der Regressionsgeraden z = a₀ + a₁ · x  erhält man aus:

\(\begin{pmatrix} 1&1&1&1\\ x_1&x_2&x_3&x_4\end{pmatrix}\) • \(\begin{pmatrix} 1&x_1\\ 1&x_2\\ 1&x_3\\1&x_4\\\end{pmatrix}\) • \(\begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \end{pmatrix}\) 

                                            =    \(\begin{pmatrix} 1&1&1&1\\ x_1&x_2&x_3&x_4\end{pmatrix}\)  •  \(\begin{pmatrix}z_1\\ z_2\\ z_3\\z_4\\\end{pmatrix}\)

\( \begin{pmatrix} 4& \sum\limits_{i=1}^{4} x_i \\ \sum\limits_{i=1}^{4} x_i&\sum\limits_{i=1}^{4} x_i^2\end{pmatrix} \) • \(\begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \end{pmatrix} \)  =  \( \begin{pmatrix} \sum\limits_{i=1}^{4} z_i \\ \sum\limits_{i=1}^{4} (x_i·z_i)\end{pmatrix} \)   (#)

Das LGS lösen:

\(\textcolor{blue}{A}·\begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \end{pmatrix} =\textcolor{red}{B} \)        [ ⇔_ggf. \( \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \end{pmatrix} \)  = \(\textcolor{blue} {A^{-1}} · \textcolor{red}{B}  \) ]

(#)  Kontrollergebnis:

\( \begin{pmatrix} 4&22,1\\ 22,1&143,03\end{pmatrix}\) · \(\begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \end{pmatrix}\) = \(\begin{pmatrix} 69,06 \\ 392,898 \end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix} 4·a_0+22,1·a_1 \\  22,1·a_0+143,03·a_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 69,06 \\ 392,898 \end{pmatrix}\)

           →  a₀ ≈  14,247   und a₁ ≈  0,546

                             also  z ≈ 14,247 + 0,546 · x     

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Berechnen kannst du die Regressionsgerade auch mit einem Online-Rechner:

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/regr.htm

Eingabe in den Rechner:
Jeweils ein Wertepaar x_i und z_i durch ein Leerzeichen getrennt pro Zeile eingeben
x₁ z₁
...
x₄ z₄
Bei Terme musst du unten "Gerade" anklicken
Dann "Regression" anklicken.
Im rechten Feld erscheint dann alles, was man wissen will.

Gruß Wolfgang