Hallo,
Die Koeffizienten a0 und a1 der Regressionsgeraden z = a0 + a1 · x erhält man aus:
\(\begin{pmatrix} 1&1&1&1\\ x_1&x_2&x_3&x_4\end{pmatrix}\) • \(\begin{pmatrix} 1&x_1\\ 1&x_2\\ 1&x_3\\1&x_4\\\end{pmatrix}\) • \(\begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \end{pmatrix}\)
= \(\begin{pmatrix} 1&1&1&1\\ x_1&x_2&x_3&x_4\end{pmatrix}\) • \(\begin{pmatrix}z_1\\ z_2\\ z_3\\z_4\\\end{pmatrix}\)
\( \begin{pmatrix} 4& \sum\limits_{i=1}^{4} x_i \\ \sum\limits_{i=1}^{4} x_i&\sum\limits_{i=1}^{4} x_i^2\end{pmatrix} \) • \(\begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} \sum\limits_{i=1}^{4} z_i \\ \sum\limits_{i=1}^{4} (x_i·z_i)\end{pmatrix} \) (#)
Das LGS lösen:
\(\textcolor{blue}{A}·\begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \end{pmatrix} =\textcolor{red}{B} \) [ ⇔ggf. \( \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \end{pmatrix} \) = \(\textcolor{blue} {A^{-1}} · \textcolor{red}{B} \) ]
(#) Kontrollergebnis:
\( \begin{pmatrix} 4&22,1\\ 22,1&143,03\end{pmatrix}\) · \(\begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \end{pmatrix}\) = \(\begin{pmatrix} 69,06 \\ 392,898 \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} 4·a_0+22,1·a_1 \\ 22,1·a_0+143,03·a_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 69,06 \\ 392,898 \end{pmatrix}\)
→ a0 ≈ 14,247 und a1 ≈ 0,546
also z ≈ 14,247 + 0,546 · x
-----------------------------------------------------------------------
Berechnen kannst du die Regressionsgerade auch mit einem Online-Rechner:
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/regr.htm
Eingabe in den Rechner:
Jeweils ein Wertepaar xi und zi durch ein Leerzeichen getrennt pro Zeile eingeben
x1 z1
...
x4 z4
Bei Terme musst du unten "Gerade" anklicken
Dann "Regression" anklicken.
Im rechten Feld erscheint dann alles, was man wissen will.
Gruß Wolfgang
