Bestimmen Sie lineare Abbildungen von R 2 nach R 2

Question

In jedem der folgenden Fälle: Bestimmen Sie, ob es keine, eine oder mehrere lineare Abbildungen vonℝ² nach ℝ² mit den angegebenen Eigenschaften gibt. Wenn es mehrere gibt, reicht es, wenn Sie ohne weitere Begründung zwei Beispiele angeben.

(a) f₁(1,1) = (1, 0) und f₁( 1,0 ) = (0, 1 )

(b) f₂( 1, 1 ) = (1, 1) , f₂( 0, 2 ) = (0, 4) und f₂( 3, 1 ) = (3, 1)

(c) f₃ ist nicht injektiv und f₃( 1, 0 ) = (2, 0)

(d) f₄({ x, 0 | x ∈ ℝ}) = { x, 1 | x ∈ ℝ}

(e) f₅({ x, x + 1 | x ∈ ℝ}) = { x, 1 | x ∈ ℝ}

(f) f₆({ x, 1 | x ∈ ℝ}) ist ein einziger Punkt in ℝ ² 

Comments

Mach mal Vorschläge!

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a) vgl. auch https://www.mathelounge.de/404551/lineare-abbildung-r-2-zu-r-2-mit-f_1-1-1-1-0-und-f_1-1-0-0-1#a404593 

Answer 1

a)

[a, b; c, d]·[1; 1] = [1; 0]

[a, b; c, d]·[1; 0] = [0; 1]

Löse die Gleichungen und erhalte 

[a, b; c, d] = [0, 1; 1, -1]

Comments

Wie löst du die Gleichung auf und wie kann ich jetzt zeigen ob die Abbildung linear ist oder nicht.
MfG

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[a, b; c, d]·[1; 1] = [1; 0] 

steht für

a + b = 1

c + d = 0

[a, b; c, d]·[1; 0] = [0; 1] 

steht für

a = 0

c = 1

Eigentlich solltest du in der Lage sein dieses Gleichungssystem zu lösen. Setze das ein was du kennst und löse nach dem was du nicht kennst auf.

Und wie zeigst du das die Abbildung linear ist? Gegenfrage. Was ist eine lineare Abbildung und wie kann ich die darstellen. Notfalls hilft hier dein Skript oder Wikipedia.

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Die Abbildung muss additiv und homogen sein, sprich:

f(v+w)=f(v)+f(w) und f(lamda*v)=lamda*f(v)

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Hast du vielleicht auch eine Lösung für c)? Habe die selbe Aufgabe und komme da nicht weiter.

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Welche Bedingungen müssen a, b, c und d erfüllen, damit

[a, b; c, d]·[1; 0] = [2; 0]

gilt?

Gibt es dann zusätzlich noch die Möglichkeit a, b, c und d so zu wählen, das die Funktion nicht injektiv ist?

Was ist z.B. mit

[2, -2; 0, 0]·[x; y] = [2·x - 2·y; 0]

?