Zeigen Sie, es gibt unendliche viele lineare Abbildungen f: Q

Question

Wir wissen, dass \( \mathbb{R} \) ein Vektorraum über dem Körper \( \mathrm{O} \) ist
Zeigen Sie, es gibt unendliche viele lineare Abbildungen \( f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{R} \).

Wie löst man das?

Comments

Hallo

was ist der Körper O?

Zum Beispiel f(q)=r*q , r aus R q aus Q

lul

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Sorry, der Körper soll eigentlich Q heißen, nicht O

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Wie löst man das?

Das werden wir dir bestimmt nicht ohne Eigenleistung abschreibfertig präsentieren.

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Abschreiben mache ich sowieso nicht, denn ich möchte es in erster Linie verstehen Heinrich.

Mein Ansatz hierbei wäre, die Abbildungen: fn:q→πn⋅q zu betrachten. Dabei ist π die bekannte Konstante 3.14....
Ich denke, man muss hier zeige, dass es unterschiedliche lineare Abbildungen aus ℚ nach ℝ sind. Allerdings weiß ich nicht, wie ich ab das weiterführen soll?

Hat einer einen Tipp dafür?

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Hallo

da es unendlich  viele r∈ℝ gibt, muss man nicht unbedingt n*pi nehmen, aber auch das ist ok

Gruß lul

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Hallo, ich bin auch an dieser Aufgabe interessiert, aber ich kann eurer Hilfestellung leider nicht so viel anfangen. Mein Ansatz wäre, die Gruppenaxiome zu prüfen. Wäre meine Denkweise so richtig?

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Mein Ansatz wäre, die Gruppenaxiome zu prüfen

In der ganzen Aufgabe kommt weder einmal das Wort Gruppe vor, noch handelt die Aufgabe von Gruppen. Wie kommst du auf diesen Ansatz?

Answer 1

\(\{1\}\) ist eine \(\mathbb{Q}\)-Basis von \(\mathbb{Q}\).

Daher gibt es soviele \(\mathbb{Q}\)-lineare Abbildungen wie es Zuordnungen

\(1\mapsto x\) mit \(x\in \mathbb{R}\) gibt, also soviele

\(\mathbb{Q}\)-lineare Abbildungen wie es reelle Zahlen gibt.